PARADOJA BANACH-TARSKI EN DOS DIMENSIONES

INTRODUCCIÓN

La paradoja en cuestión dice lo siguiente:

Dada una bola en el espacio tridimensional, existe una descomposición de la bola en un número finito¹ de piezas no solapadas (es decir, subconjuntos disjuntos), que pueden juntarse de nuevo de manera diferente para dar dos copias idénticas de la bola original. Todavía más, el proceso de reensamblaje requiere únicamente remover las piezas y rotarlas, sin cambiar su forma. Sin embargo, las mismas piezas no son "sólidas" en el sentido habitual, sino dispersiones de infinitos puntos.

En resumidas cuentas, dentro de la axiomática ZF de teoría de conjuntos + axioma de elección, es posible hacer pedazos una esfera, y despumes simplemente rotando sus cachos componer dos esferas iguales a la original.

En este texto obtendremos un resultado similar para el caso de un cuadrado. Dividiremos un cuadrado en unas cuantas porciones y cuando las tengamos, con unas rotaciones compondremos dos cuadrados iguales al original.


MULTIPLICANDO LOS CUADRADOS

Primero – clasificar el perímetro

Partiremos de un cuadrado cómo este, cuyo área queremos duplicar.



La primera gran tarea a realizar es la de clasificar todos los puntos que hacen el perímetro del cuadrado en tres conjuntos. La forma de clasificar cada punto del perímetro es el siguiente.

Segundo – mediante proyecciones

Para clasificar se siguen los pasos del siguiente algoritmo, se hace pasar un semirrecta que comenzando en el centro del cuadrado y con dirección norte corte al cuadrado en un punto. El primer punto seria el punto Q tal y cómo se obtiene en la imagen. ¿Hemos rotado el cuadrado cómo ultimo paso para obtenerlo? No, por este motivo lo clasificaremos en el conjunto de los Quietos. Veremos más adelante que clasificaremos los puntos del perímetro en tres conjuntos, quietos [Q], Derechas [D] e Izquierdas [I].

Tercero – se pone en marcha el algoritmo

Iteración n=1

Tenemos cuatro opciones para elegir a continuación;

1. Podemos girar el cuadrado a la derecha un numero irracional e+1 (2,718..+1=3,718…) de grados. Recordamos que una vuelta completa tiene 360º. El cuadrado se deja girado, pero no se marca ningún punto de corte con la semirrecta.
2. Podemos girar el cuadrado a la derecha un numero irracional e .A continuación marcamos el lugar de corte de la semirrecta con el cuadrado recién girado. El punto marcado pertenecerá al conjunto [D]. Una ver marcado el punto el cuadrado vuelve a la posición original y n=1.
3. Podemos girar el cuadrado a la izquierda un numero irracional e+1 (2,718..+1=3,718…) de grados. Recordamos que una vuelta completa tiene 360º. El cuadrado se deja girado, pero no se marca ningún punto de corte con la semirrecta.
4. Podemos girar el cuadrado a la izquierda un numero irracional e .A continuación marcamos el lugar de corte de la semirrecta con el cuadrado recién girado. El punto marcado pertenecerá al conjunto [I]. Una ver marcado el cuadrado vuelve a la posición original y n=1. 

Cuarto – infinitas iteracciones

Vimos que en la primera iteración sumábamos los grados de giro eran e+1 para las opciones 1 y 3. En la siguiente iteración en estas opciones el giro sera de e+0,1. En general para la n-sima iteración el giro para las opciones 1 y 3 será de e+(10/10^n). Este engorro es simplemente para conseguir que la clasificación de cada punto en un conjunto sea unica.

Con esto en mente, la iteración n=2, realizada sobre como ha quedado rotado el cuadrado tras n=1, volverá a plantear las mismas 4 opciones. Con las mismas consecuencias. Vemos que solo sobreviven a la siguiente iteración si elegimos la opción 1 y 3. Las otras conducen a marcar un punto y volver al comienzo.

Quinto – encontrando los puntos perdidos

Después de haber realiza infinitas iteraciones, es hora de ir encontrando los puntos que no han quedado marcados, que son infinitos innumerables. Para ello vamos girando el cuadrado hasta que la semirrecta del norte marque el punto que estaba perdido. Apuntando el punto en el conjunto [Q] de los quietos.

Una vez marcado este punto se vuelve a poner en marcha las iteraciones n=1. Esta posición del cuadrado sera la nueva a la que se volverá después de haber marcado el punto.

Ejecutado el algoritmo otra infinidad de veces, volvemos a girar el cuadrado hasta encontrar un nuevo punto perdido y marcándolo en el conjunto [Q]. Proseguimos de este modo hasta que todos los puntos del cuadrado estén clasificados en [Q], [D] o [I].

¿Cómo es posible ejecutar un algoritmo infinito, que contiene una subrutina que es ademas infinita? No es posible, pero el axioma de elección nos permite adelantar que estos puntos serán marcados sin ejecutar el algorimo, y es lo que nos interesa.

Sexto – una matricula para cada punto

Una forma de identificar cada punto es mediante la secuencia de movimientos izquierda o derecha que se han realizado para alcanzarlo. Por ejemplo el primer punto del ejemplo seria el punto {Q}, si en la siguiente iteración hubiéramos movido el cuadrado a la derecha el punto resultante seria {D,Q}, si en la tercera elegimos mover a la izquierda sería {I,D,Q}. Vemos que los movimientos se escriben de derecha a izquierda. Esto será muy importante más adelante.

Séptimo – extrayendo los conjuntos

Extraeremos del cuadrado los tres conjuntos de puntos. En principio el perímetro tendría que ser la suma de los tres. De modo que, por ejemplo, el área delimitada por el polígono de infinidad de vértices en el cuadrado [Q] no podrá ser igual al área del cuadrado original.



Octavo – las matriculas de cada conjunto

¿Cual es la forma de las matriculas de todos los puntos del cuadrado original? Sabemos que lo constituyen aquellos terminados quietos, a izquierdas y a derechas. Tendran esta forma entonces;

{Q,Q,Q…},{Q,Q,D…},{Q,Q,I…},…….
{D,Q,Q…},{D,Q,D…},{D,Q,I…},…….
{I,Q,Q…},{I,Q,D…},{I,Q,I…},………

¿cual es la matricula de los puntos que pertenecen a I? Sabiendo que terminan en un giro a izquierdas, tienen que tener esta forma;

{I,Q,Q…},{I,Q,D…},{I,Q,I…},………
{I,D,Q…},{I,D,D…},{I,D,I…},………
{I,I,Q…},{I,I,D…},{I,I,I…},………

Noveno – rotando un conjunto se obtiene el total

Ahora vamos a rotar el conjunto [I] hacia la derecha un numero e de grados, esto equivale a añadir una D al final de todas las matriculas. Por tanto el conjunto [I] nos quedaría de la siguiente forma:

{D,I,Q,Q…},{D,I,Q,D…},{D,I,Q,I…},………
{D,I,D,Q…},{D,I,D,D…},{D,I,D,I…},………
{D,I,I,Q…},{D,I,I,D…},{D,I,I,I…},………

Recordamos que tanto la ultima y la penúltima rotaciones en este caso son en ambos casos e y de sentidos contrarios, por tanto se anulan.  El conjunto [I] rotado un angulo e nos queda de la siguiente forma:

{D,I,Q,I…},{D,I,Q,D…},{D,I,Q,Q…},… ={Q,Q,Q…},{Q,Q,D…},{Q,Q,I…},…….
{D,I,D,I…},{D,I,D,D…},{D,I,D,Q…},…={D,Q,Q…},{D,Q,D…},{D,Q,I…},…….
{D,I,I,I…},{D,I,I,D…},{D,I,I,Q…},…={I,Q,Q…},{I,Q,D…},{I,Q,I…},………

Esto es tiene la misma forma de todas las matriculas del cuadrado original. Esto es con este giro hemos obtenido un cuadrado original completo. Y tenemos una copia.

Decimo – la segunda copia

Si hacemos lo mismo con el cuadrado [D], pero girándolo a la izquierda e grados, obtenemos nuevamente las matriculas del cuadrado original completo. Y esta es la segunda copia.

¿que pasa con el cuadrado [Q]?, nos sobra.

Consideraciones finales

1º A pesar de haber empleado en este texto que el infinito es actual, lo cierto es que entiendo que el infinito ha de tomarse como potencial, y desde este punto de vista no puede construirse ninguna paradoja B-T tal cómo se ha hecho.
2º El presente texto de paradoja B-T en dos dimensiones tiene importantes objeciones.

UN EJEMPLO DE VARIABLES OCULTAS EN UN ENTORNO REALISTA Y LOCAL, QUE OFRECE UN RESULTADO POR DEBAJO DE LA DESIGUALDAD DE BELL

1. LA REVOLUCIÓN CUANTICA

La teoría de la mecánica cuántica ha supuesto una herramienta con la que abordar el estudio de la naturaleza allí donde las teorías clásicas fracasaban. Si hubiéramos optado por comprar esta herramienta en un mercado intergaláctico de teorías, el precio que la humanidad hubiera estado dispuestos a pagar sería el de un alto porcentaje de la riqueza mundial, año tras año.

Las teorías físicas clásicas son deterministas; al iniciarse una partida de billar para romper la formación en triangulo de las bolas, la posición en la que quedaran estas tras el golpe está determinada por la velocidad y la dirección con la que se lanza la bola blanca. Si el jugador decide repetir la jugada haciendo exactamente lo mismo, el resultado final será el mismo. En cambio el análisis de dicha partida bajo los dictados de la mecánica cuántica nos dice que lanzamientos idénticos pueden tener resultados muy diferentes.

Este azar es un aspecto realmente incomodo de la teoría, que desde una perspectiva antropocéntrica, nos obliga a afirmar que al universo hay que ponerle una camisa de fuerza antes de que haga algo realmente estúpido e imponerle unas nuevas leyes, que nos gusten más. Lo que parece muy difícil de conseguir, por tanto hay quien opta por conformarse con la perspectiva de que la teoría cuántica es una teoría incompleta, que sus predicciones son probabilistas porque no se tiene en cuenta una realidad ahora oculta que está allí esperando a ser descubiertas. Esta realidad oculta aportaría nuevas variables ocultas, y con ellas sería posible construir una teoría determinista del mundo, que explicaría también los fenómenos que hoy día solo se explican mediante la teoría probabilística. Esta fue la posición de Einstein, que afirmo que Dios no jugaba a los dados.

2. LA DESIGUALDAD DE BELL

En principio, nada parece impedir que pueda construirse una teoría de variables ocultas que permitiera superar nuestro conocimiento actual de la materia, y la gente podía agarrarse a esto para llevar unas vidas normales. O nada parecía impedirlo hasta que un día llego John S.Bell y se preguntó por la forma que cualquier teoría de variables ocultas debía tener. Alcanzó la conclusión de que cualquier teoría de variables ocultas anticiparía unos resultados contradictorios a los que anticipa la teoría cuántica, cuando ambas teorías examinan el mismo tipo de experimentos que familiarmente se denotan cómo experimentos de Alice y Bob. Este resultado significo un duro golpe para los que mantenían la postura de que el universo debía de ser al fin y al cabo determinista.

Pero no se desanimen, en el presente texto vamos a presentar un ejemplo de teoría de variables ocultas, que ofrecen los mismos resultados que la teoría cuántica cuando se evalúan en el experimento de Alice y Bob. Porque al fin y al cabo, Bell no habría tenido en cuenta todas las posibilidades. Comencemos explicando el experimento de Alice y Bob.

3. EL EXPERIMENTO DE ALICE Y BOB

Tenemos en el centro del montaje una fuente de fotones, que lanza dos fotones con la misma polarización plana cada vez, uno hacia el detector de Alice y otro hacia el detector de Bob. Cada detector admite tres posiciones según lo decidan libremente Alice y Bob; pueden colocarlo en posición de detectar si el fotón es capaz de pasar por un filtro horizontal, vertical u oblicuo-derecha. Oblicuo significa a 45 grados

Figura 1: Montaje del experimento Alice y Bob. El emisor central lanza fotones de la misma polarización hacia los experimentadores, que pueden decidir con independencia cuál de los tres filtros pueden utilizar.

Un fotón polarizado plano es como una carta de correos y los filtros de Alice y Bob son como buzones; solo pasarán por la rendija del buzón si entrar correctamente alineados. Pero hay algo más debido a la rareza de la mecánica cuántica, está visto y comprobado que el fotón entra el 50% de las veces por un buzón que está oblicuo. En resumen el comportamiento de los fotones polarizados en una dirección dada es la siguiente:

1. Pasa el 100% de las veces por un filtro paralelo a esa dirección.

2. Pasa el 0% de las veces por un filtro perpendicular a esa dirección.

3. Pasa el 50% de las veces por un filtro oblicuo a esa dirección.

En cada tirada de fotones Alice y Bob elijen cada uno al azar que clase de filtro poner, y comparan entre ellos los resultados que han obtenido. Si en ambos casos el fotón ha pasado o el fotón no ha pasado, dicen que sus resultados coinciden, si en un lado el fotón pasa y en el otro no pasa, sus resultados no coinciden. Si en una tirada sus resultados coinciden apuntan un 100 en el resultado, si no coindicen apuntan 0. Este es el experimento de Alice y Bob tal como lo hemos adaptado.

4. QUE DICE LA TEORIA CUANTICA SOBRE EL EXPERIMENTO ALICE Y BOB

Para solucionar el problema se recurre a una matriz que resume las distintas opciones que tienen Alice y Bob para elegir la orientación de los filtros. Que son tres opciones independientes cada uno, esto hace que en total existan 9 posibilidades.

Tabla I: Matriz para resolver el problema. Para cada tipo de fotón emitido hay una matriz, en su interior se va apuntado la puntuación cuando Alice y Bob eligen entre los distintos filtros.

Por otra parte el fotón puede salir con cualquier polarización plana, esto quiere decir que podría estar girado en cualquier ángulo, pero vamos a simplificar el problema asumiendo que los fotones solo pueden emitirse de una determinada forma:

1. Se emiten polarizados en vertical.

2. Se emiten polarizados en oblicuo-derecha.

3. Se emiten polarizados en horizontal.

4. Se emiten polarizados en oblicuo-izquierda.

Son cuatro formas de emitir fotones, por tanto el experimento tiene 4 matrices, y como son 9 formas de colocar los filtros, tenemos 4 x 9 =36 posibles escenarios que se presentan con idéntica probabilidad. En cada escenario Alice y Bob apuntarán una puntuación, y al final prorratearán la puntuación para los 36 escenarios y obtendrán la puntuación media esperada. Nosotros vamos a anticiparnos resolviéndolo según las pautas de la mecánica cuántica. Para calcular la puntuación para cada escenario hay que tener en cuenta lo que dijimos sobre el comportamiento del fotón cuando se enfrenta a un filtro.

Vamos a ir rellenando la matriz caso a caso. Si los fotones son verticales, y Alice y Bob eligen ambos filtro vertical, el fotón siempre pasa y sus resultados siempre coinciden y ponemos 100 en la casilla. Para el mismo par de fotones, cuando el filtro de Alice es oblicuo-derecha y el de Bob vertical, el fotón siempre pasa por el filtro de Bob pero solo la mitad de las veces por el de Alice. Por ello la mitad de las veces sus resultados coincidirán apuntando 100 y la mitad de las veces no y apuntarán 0. Haciendo que el resultado esperado para esa casilla sea 50.

Si continuamos de este modo por el resto de las 34 posibilidades, habremos rellenado las 4 matrices, y si hacemos la suma de todos los números de la matriz y lo dividimos entre 36 tenemos la puntuación media esperada para el experimento Alice y Bob según la mecánica cuántica. Que es 52,8.

Tabla II: Las matrices con las puntuaciones esperadas por la mecánica cuántica para los 36 escenarios posibles. La media de estas puntuaciones es 52,8.

5. LAS VARIABLES OCULTAS DE JOHN S.BELL

Ahora vamos a pasar a estudiar el experimento desde la perspectiva de John S.Bell de variables ocultas. Desde esta perspectiva clasificar los fotones como de polarización vertical, oblicuo y horizontal es algo obsoleto y superado por unas variables ocultas que determinan exactamente y sin dejar nada al azar cómo se comporta el fotón frente a cada filtro. Sigue habiendo 9 posibilidades totales de cómo pueden estar configurados los detectores en el experimento, lo que cambia es el modo en que se describe un fotón y las diferentes posibilidades que existen de emitirlos.

En total vamos a tener 8 distintos fotones posibles que se presentarán con la misma probabilidad; vamos a tener un fotón que puede pasar por los 3 filtros, un fotón que puede pasar por el vertical y el horizontal pero no por el oblicuo-derecha, otro que no va a pasar por ninguno y así hasta las 8 posibilidades.

Ahora el experimento Alice y Bob pasa a tener 8 matrices y 8 x 9 = 72 escenarios diferentes. Cómo hicimos en el caso anterior pasamos a evaluar la puntuación esperada para cada escenario.

Cuando el fotón es de los que pasan por todos los filtros, y Alice y Bob tienen sus filtros en vertical, los fotones pasa por ambos y sus resultados siempre coinciden. Apuntamos 100 en la casilla. Cuando el Alice tiene el filtro en horizontal y Bob en vertical, el fotón sigue pasando por ambos y vuelven a apuntar 100 en la casilla. Continuamos hasta rellenar los 72 casilleros y prorrateamos para obtener la puntuación media según variables ocultas. ¡Qué sorpresa! es de 66,7.

Tabla III: Las matrices con las puntuaciones esperadas por una teoría de variables ocultas para los 72 escenarios posibles. El texto VXX en la parte superior izquierda significa que se trata de la matriz para el fotón que puede pasar por el filtro vertical y no por el filtro horizontal ni por el oblicuo-derecha. La puntuación promedio es de 66,7 y el promedio de ninguna matriz baja de 55,6.

Está claro que hemos tenido en cuenta fotones que no pasan por ninguno de los filtros y que quizás si los quitáramos el prorrateo podría reducirse hasta 52,8. Pero esto es imposible, puesto que la menor puntuación que puede sacar cualquier tipo de estos fotones deterministas de 55,6. Esta diferencia entre la puntuación mínima que se obtiene entre una teoría de variables ocultas, y la mecánica cuántica, es lo que se mundialmente se conoce como la desigualdad de Bell.

6. UN MODELO DE VARIBLES OCULTAS QUE IGUALA EL RESULTADO DE LA MECANICA CUANTICA

Si el mejor modo de demostrar el movimiento es moviéndose. Vamos a demostrar que existe un modelo de variables ocultas que arroja 52,8 de resultado, creándolo. Para ello vamos a definir nuevamente el comportamiento de los fotones de acuerdo a este nuevo modelo.

1. Los fotones tienen 4 polarizaciones planas posibles; vertical, oblicuo-derecha, horizontal y oblicuo-izquierda. Ya dijimos que en realidad tienen cualquiera, pero sigamos con esta simplificación planteada al principio del texto.

2. Un fotón polarizado en una dirección cualquiera, pasara siempre por el filtro que coincida esa dirección y no pasara nunca por un filtro que este a 90 grados a esa dirección.

3. Existe el Gen Z, que un fotón puede tener o no, y que si lo tiene le permite atravesar un filtro colocado a 45 grados. El Gen Z es una variable oculta y por ello no sabemos ni cuál es el mecanismo ni cómo termina un fotón acarreándolo, pero suponemos que es un proceso determinista. Lo que sí sabemos es que existe una probabilidad del 50% de un fotón lo lleve y que es fácil que lo pierda o gane.

4. Los fotones emitidos por la fuente en una tirada son idénticos en polarización, pero no tienen por qué ser idénticos en cuando a portar o no el Gen Z. Uno de los fotones puede llevar el Gen Z y el otro no, este un aspecto completamente independiente.

Con esto ya estamos preparados para abordad el experimento de Alice y Bob. Cada uno de ellos sigue teniendo tres formas de elegir sus filtros, lo que hacen 9 posibilidades en total.

Sabemos que tenemos fotones con 4 posibles polarizaciones. Preguntémonos ahora de cuantas formas diferentes puede emitir pares de fotones con polarización vertical la fuente. Puede emitir un fotón con Gen Z hacia Alice y otro con Gen Z hacia Bob, un fotón con Gen Z hacia Alice y otro sin Gen Z hacia Bob, etc. Son 4 formas distintas de emitir para la polarización vertical, con lo que en total hay 4 x 4 =16 posibilidades distintas de emisión de fotones y 16 matrices. Haciendo un total de 9 x 16 =144 escenarios para el experimento Alice y Bob, cada uno con su puntuación esperada.

Una vez más calculemos un par de ellas a modo de ejemplo. Supongamos que la fuente ha emitido dos fotones verticales ambas con el Gen Z y que tanto Alice cómo Bob han elegido filtros oblicuo-derecho. Cómo ambos portan el Gen Z, pasara por ambos filtros oblicuos y apuntaran 100 en la casilla. Sin cambiar los filtros, veamos que pasa ahora con la matriz en la que los fotones son ambos verticales pero solo el fotón de Alice tiene Gen Z; el fotón de Alice pasara por el filtro oblicuo, pero nunca lo hará el de Bob y apuntaran 0 en esa casilla. Continuando de esta guisa con los 144 escenarios, y haciendo media de las puntuaciones obtenemos 52,8. Consiguiendo lo que según el planteamiento de Bell, tendría que ser imposible.

Tabla IV: Las matrices con las puntuaciones esperadas el modelo del Gen Z. El texto _XZ en la parte superior izquierda significa que se trata de la matriz para fotones de polarización horizontal, donde solo el de Bob tiene Gen Z. La media de todas las puntuaciones es 52,8 coincidiendo con lo esperado por la mecánica cuántica.

7. CONCLUSIONES

El resultado obtenido, abre de nuevo una puerta que parecía cerrada a la existencia de una realidad oculta aun no anticipada, que potencialmente puede permitir un universo que sea determinista y aunque no lo hemos mencionado en el presente texto, que sea compatible con que la información no viaje más rápido que la velocidad de la luz. ¿A quién no le reconforta esto?