INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ E INTERPRETACIÓN DEL METODO DE CRAMER

Una forma de interpretar el determinante de una matriz cuadrada sería suponer que cada una de sus filas corresponde a las coordenadas de un vector. Siendo entonces que el determinante de la matriz sería el área, volumen o N-volumen que está confinado dentro del prisma N-rectangular que se puede construir con dichos vectores. Justamente es el producto escalar de vectores, el que ofrece el n-volumen que delimitarían, y para calcularlo se toma el determinante de estos vectores ordenados en filas en una matriz n x n.

OTRA FORMA DE VERLO

Ciertamente se puede entender una matriz como un arreglo de vectores, pero dada su relación directa con los sistemas de ecuaciones  y que en numerosas ocasiones se plantean como las trasformaciones que aplicadas a un espacio dan lugar a otro, se verá otra forma de entender el determinante. Desde está perspectiva de las trasformaciones geométricas, el determinante de una matriz es exactamente la tasa en la que se multiplican las áreas o los volúmenes de cualquier figura inmersa en un espacio de origen, al trasformarla mediante la matriz a un espacio destino.

LA MATRIZ COMO TRASFORMACIONES EN EL PLANO EUCLIDEO

Si A es una matriz cuadrada que codifica la trasformación y B otra matriz cuyas columnas son las coordenadas de puntos o vectores de una figura en un espacio (por ejemplo las coordenadas de los puntos de una ciudad), entonces A·B lleva esos puntos a otro espacio (por ejemplo a un plano de bolsillo). 

Por ejemplo para transformaciones en el plano bidimensional basta con una matriz A de trasformación de 2 x 2. Los valores de la diagonal principal se encargan de estirar o encoger las componentes x e y del espacio origen, mientras que los valores de la otra diagonal se encargar de aplicar una deformación de cizalla en x o en y; esto es, como si hubiera algo dibujado en el lateral de una baraja de cartas y estas cartas se deslizaran poco a poco una sobre la otra deformando la imagen.

TRASFORMACION DE UN ELEMENTO UNITARIO DE VOLUMEN DEL ESPACIO DEL ORIGEN

Supongamos un cubo n-dimensional de lado 1 en el espacio origen, su n-volumen es 1. Una forma de codificarlo es generando una matriz B de n x n cuyas columnas son los vectores con los que puede construirse (vectores unitarios correspondientes a los ejes de coordenadas). Esta matriz será la matriz I identidad,  n x n. Con todo ceros salvo la diagonal principal con valor 1, es decir B=I. Al  aplicar la transformación A a B , esto es A·B, A·I=A. Por tanto se obtiene que cada uno de los ejes de coordenadas en I del espacio origen se han trasformado en los nuevos ejes que aparecen en forma de columnas en A.

Estos vectores de las columnas de A delimitan un n-paralelepipedo. Recordando la noción de producto escalar, si se calcula el determinante se obtiene el n-volumen de los vectores en las filas de A. Es decir, se tendría que trasponer la matriz y después hacer el determinante para tener el n-volumen. Pero existe un teorema que dice que el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.  Por tanto al calcular el determinante directamente, nos dará directamente el n-volumen que ocupan los nuevos vectores trasformados.

CONCLUSION

Por tanto el determinante de A es el factor por el que se multiplican los n-volúmenes al aplicar A a una figura codificada en una matriz B. Si las coordenadas de B no son espaciales, habrá que entender el significado de la multiplicación conjunto de dichas coordenadas.

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL METODO DE CRAMER

Teniendo en mente lo citado anteriormente se va a tratar de dar una interpretación geométrica del método de Cramer, el cual, como por arte de magia, resuelve el valor de las incógnitas de un sistema de ecuaciones.

Supóngase la misma matriz A, cuyas columnas representaban los nuevos ejes coordenados. Al multiplicar cada una de esas columnas por un numero y sumar entre ellas, se deberá de obtener el vector de coeficientes, denominado usualmente por b. Resolver un sistema de ecuaciones es básicamente encontrar como encadenar una serie de vectores para llegar al punto que señala el vector b. Estos vectores a encadenar son las columnas de A, mientras que las incógnitas (x,y,z) son la multiplicidad con la que aparecen.

Representación matricial de un sistema de ecuaciones

El metodo de Cramer dice que si D es el determinante de A y D1 es el determinante de haber sustituido un vector columna ax por la columna b, entonces la incognita X  vale  D1/D, es decir X=D1/D.

EN DOS DIMENSIONES

La interpretación geometrica de este metodo es una extrapolación de lo que sucede para 2 dimensiones. Por ser este caso más sencillo de explicar veamos porque funciona el metodo para 2 dimensiones. Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Representando los vectores implicados (dentro de los rectangulos) en el plano:

X e Y son las veces que han de multiplicarse los vectores de la matriz para dar el vector azul:

Utilizando el metodo de Cramer para resolver Y. Como se vio anteriormente el determinante D es el área que ocupan los vectores verde y rojo. Mientras que el determinante D1 es el area que ocupan los vectores rojo y azul. En la siguiente figura se representan la mitad de cada una de estas areas para simplificar.

Se ve que mientras se necesitan 2 areas D1 para llenar todo el cuadrado, hacen falta 8 areas D para llenar la misma superficie. Siendo por tanto D1/D = 4. En general el factor entre ambas areas sera igual al numero de veces que tendra que aparecer el vector verde (la incognita Y) para construir el vector azul (vector de coeficientes).