ESPACIOS METRICOS, NUMEROS Y LA RECTA

INTRODUCCION

Dado un conjunto de axiomas mínimo generador de un sistema formal consistente, la negación de uno de sus axiomas daría lugar a un sistema formal consistente, pero diferente al original. Por tanto, no es solo su consistencia lo que interesa de un sistema formal, sino que sea capaz de adecuarse a unos esquemas y directrices externos, preconcebidos. Lo que a continuación se explicara puede entenderse que entra en conflicto con la Teoría de Conjuntos y de hecho lo hace, dado que parte de un enfoque finitista de las matemáticas.

Dado que los soportes donde se ejecuta la matemática son necesariamente finitos, todas las operaciones matemáticas que desarrolle un hardware tienen que concluir, para que pueda considerarse un resultado. Esto conduce al siguiente razonamiento.

LAS DIFERENTES METRICAS

Los valores 10, 12, 23..... están expresados en la métrica decimal o si se prefiere en lenguaje decimal. La métrica decimal tiene una determinada potencia, que esta relacionado con los valores que es capaz de representar, que viene dada por la forma en la que construye sus valores. Es posible traducir algunos valores entre diferentes métricas mediante algún proceso. A la métrica decimal pueden traducirse por ejemplo los números binarios.

Pero esta métrica decimal no es completa, no es posible traducir a ella cualquier magnitud que haya sido definida en cualquier otra métricas imaginada, como se vera mas adelante.

Aparentemente otra métrica es la regla y el compás, que construye sus valores mediante las diferentes operaciones que pueden hacerse con una regla y un compás. La métrica regla y compás cumple con algunos imperativos algebraicos de forma que no es necesario trabajar con una regla y un compás reales para generar las magnitudes involucradas, sino que puede hacerse mediante la operación de ecuaciones. Existe un motivo por el cual solo el tratamiento algebraico debe de ser considerado, y es que una relación algebraica que representa dos rectas que se cruzan ocupa un espacio finito en la memoria de un hardware, mientras que hallar el punto en común entre dos rectas comparando en la memoria los puntos de cada una de las rectas no estaría al alcance de cualquier capacidad de memoria. Cuando un geometría o un autómata preparado para tal fin, opera con regla y compás, no guarda en la memoria una serie de círculos y rectas, sino una serie de relaciones lógicas entre las diferentes figuras, y cualquier demostración de esta índole que llevara a cabo no seria sino una demostración algebraica.

Nuevas métricas pueden definirse. En general un sistema tendrá métrica cuando las entidades que es capaz de generar se pueden comparar en términos de mayor, menor o igual, y por tanto puede establecerse un ordenamiento entre un conjunto de valores que han sido expresados en dicha métrica.

Como se vio, algunos valores obtenidos en una determinada métrica puede trasladarse a otra métrica, por ejemplo el numero 5 de la métrica decimal puede llevarse sobre la recta de la métrica regla-compás, si anteriormente se ha decidido un segmento que tiene por valor el 1. De forma inversa puede traducirse un valor de la métrica regla-compás a un número decimal, por ejemplo, el punto que ha sido generado por la regla y compás que esta en el centro del segmento decidido como [0,1] puede traducirse a la métrica decimal como 0.5. Pero no es cierto que todos los puntos alcanzables de la métrica regla - compás puedan traducirse a métrica decimal, la métrica regla - compás (RC) tiene mayor potencia que la decimal. Por ejemplo la hipotenusa de un triangulo rectángulo con 1 de catetos, (raíz de 2) es un numero que no puede representarse en forma decimal.

Por contra todos los números decimales son traducibles a la métrica RC, la métrica RC tiene la potencia de la métrica decimal, y mas potencia aun.

LOS ALGORITMOS

Un algoritmo consiste en la ejecución de una serie de instrucciones preestablecidas. Para ejecutar un algoritmo se requiere, de un algoritmo claro esta, de un input y de una memoria en donde se almacena el estado en el que se encuentra el algoritmo según va ejecutando el input. Al concluirse el algoritmo dará un ouput o salida.

NUMEROS

Naturales

Los números son magnitudes expresadas en una base, ya sea decimal, binaria, hexadecimal..... las propias palabras podrían ser números de una métrica de base 28. Cualquier número natural puede construirse sumándose múltiples veces la unidad. Un número natural es el resultado de la ejecución de un algoritmo que tiene un inicio y un final, y arroja un valor bien definido. Los números se construyen, siguiendo las instrucciones de generación de números que establece la métrica considerada.

Fraccionarios

Un fraccionario es primeramente la representación de una magnitud en una métrica distinta a la decimal, por ejemplo el valor 6/8 contiene un signo que una métrica decimal no reconoce. Para traducir un fraccionario a la métrica decimal donde se definen los naturales es necesario ejecutar un algoritmo, una transformación. Los algoritmos que resultan útiles son aquellos que mantiene la relación de orden (una expresión es mayor o menor que la otra) que tiene el fraccionario en su métrica al traducirlo a la métrica decimal, también son interesantes los algoritmos que mantengan una relación de proporcionalidad en caso de ser esto posible. Por ejemplo un algoritmo que mantiene la relación de orden entre 1/2, 1/3 y 1/4 es aquella que hiciese el mayor a la imagen de 1/2 seguido de la imagen de 1/3. Si se conservara además la proporcionalidad, las proporciones entre ellas habrían de conservarse. Una vez ejecutado el algoritmo se obtiene su equivalente decimal.

Pero no todos los algoritmos que traducen fraccionarios concluyen, por ejemplo 10/2 se acaba en un número finito de pasos dando 5, mientras que 1/3 nunca termina de ejecutarse. Los fraccionarios que al ejecutarse el algoritmo no concluyen no tienen un valor de algoritmo, y no tienen equivalente en el sistema decimal. Ciertos valores estarían fuera del dominio de los decimales. Si se ejecuta suficientemente el algoritmo sobre estos fraccionarios, se obtiene un valor cada vez más útil para las actividades de la vida física material y en vez de decir que esta siendo cada vez mas útil se dice que esta siendo cada vez mas aproximado a su utilidad completa. Pero en esta discusión se trata únicamente de igualdades estrictas, que es como se preestablece debe de operarse en matemática, y la base decimal es incapaz de dar una igualdad matemática para estos casos.

Irracionales

La métrica a / b no es la única con base algebraica, existen otras muchas formas de ordenar caracteres y dotarlas de un relación de orden. Un ejemplo son las raíces, se representan como x ^ (1/y), es posible definir un algoritmo que lo traduzca a otra métrica por ejemplo la fraccionaria o la decimal. Pero en la métrica de las raíces sucede que para cualquier algoritmo que trasforme a la base decimal guardando la relación de orden, no todas las raíces concluyen para la base decimal. Existen además raíces que ni siquiera concluyen en un algoritmo que lo traduzca con relación de orden a una base fraccionaria, estas raíces constituyen una de las expresiones de irracionales. En general dada una expresión de una métrica y su algoritmo traductor a la base fraccionaria, se dice que es irracional si dicho algoritmo no es concluyente.

Mientras que el caso inverso puede darse, es decir un fraccionario puede traducirse a al menos a una raíz, por tanto las raíces tienen la misma potencia y aun mas que fraccionarios y naturales.

Dentro de los irracionales, existen clases, hay algunos irracionales que pertenecen al espacio metrico de las series que no pueden expresarse en forma de raices o logaritmos ect. Desconozco  si existen  o si pueden construirse espacios  metricos que siendo irracionales tampoco pueden reducirse a series infinitas.

LA RELACION DE ORDEN

En un sistema en el que unos caracteres son reconocidos, existe un procedimiento de generar expresiones y existe un la relación de orden entre estas expresiones, existe un espacio métrico. Para decidir el orden de un par de expresiones del sistema es necesario definir claro esta unas normas de ordenamiento, que pueden obtenerse por operación algebraica, hacer depender de la forma en la que se construyen o definidos con motivo expresó.

Existe otra vía de ordenar un protoespacio métrico al que le falta la relación de orden, se decide un algoritmo que traduzca sus expresiones a otro espacio métrico en donde el resultado esta ordenado, de forma que la relación de orden es transferida desde otro espacio métrico. En ordenamientos diferidos de este tipo, el ordenamiento depende del algoritmo dado que el espacio carece de relación de orden propia.

Es importante hacer notar que para conferirle una relación de orden diferida a un protoespacio en algunos casos no es necesario que los algoritmos de traducción al espacio de ordenamiento concluyan, basta con iterarlos las suficientes veces para garantizar que uno será mayor que el otro. Pero a priori no esta asegurado que para cualquier par de expresiones del protoespacio se encontrara que uno de ellos es mayor que el otro en algún momento, puede que el algoritmo de ordenamiento no concluya. Por tanto no puede garantizarse a priori que un espacio sin relación de orden propia quede completamente ordenado en una relación de orden diferida.

LA RECTA

Anteriormente se comento la métrica regla y compás (RC), que un hardware siempre tendrá que operar de forma algebraica, no obstante las magnitudes en esta métrica pueden expresarse grosso modo de forma geométrica (distancia entre cruces...). Como se vio, no todas las magnitudes construidas en RC pueden ser traducidas a un sistema decimal, si además se supone que un número es una magnitud decimal, se debe de concluir que no todas las magnitudes alcanzadas en RC pueden numerarse a la vez.

Ahora, la métrica RC no es capaz de alcanzar cualquier punto de una recta. ¿Como se puede saber que existe un punto sobre la recta que RC no alcanza?. Las magnitudes que es capaz de generar RC convertidas en variables algebraicas, tienen unas características algebraicas. Si una magnitud algebraica no satisface dichas características su traducción a RC no puede realizarse, estas magnitudes existen de hecho. El algoritmo traductor aplicado a estas expresiones no concluiría nunca y daría sucesivos valores más útiles (aproximados), pero inútiles para una maquina que hace matemática estricta. Se podría decir que aunque es imposible señalarlo en RC, esa magnitud algebraica debe de existir sobre una recta de RC, dado que se tiene la impresión de que se va acotando en cada iteración. Pero esta es una conclusión falaz, del mismo modo que un irracional no existe en una secuencia decimal lo larga que se quiera, porque no puede definirse ninguna secuencia que sea estrictamente igual al irracional, tampoco puede existir sobre la recta RC una magnitud que no puede señalarse.

Las magnitudes que pueden construirse en un espacio métrico depende de las instrucciones que contenga para dicha construcción, puede que otro espacio métrico sea capaz de extraer mas expresiones del mismo numero de caracteres, pero no puede asimismo hablarse de una potencia de los caracteres independientemente de un modo de construir expresiones a partir de estos caracteres.

COMPLETANDO RC

Quizás si se añadiese nuevas herramientas ideales a la regla y el compás (y traducirlos al algebra), podrían generarse y señalarse mas magnitudes en la recta. Se podría añadir una maquina de hacer espirales, chinchetas y cuerda para hacer elipses y otras curvas. Este sistema seria un RC+, mejorado. Es posible que la trascripción de algunas expresiones que antes resultaban no concluyentes a este nuevo RC+ ahora resulten concluyentes con las nuevas herramientas. Pero no puede garantizarse que cualquier expresión perteneciente a un espacio métrico pueda representarse en la recta para RC+, y es posible que para cualquier mejora de RC nunca puedan representarse algunas magnitudes en un número finito de iteraciones y estas definitivamente no pertenezcan a la recta.