UN UNIVERSO CON SIMETRIA AL ZOOM

 

Las simetrías o invarianzas espaciales pueden utilizarse para demostrar la existencia de algunas leyes de conservación en física de un modo bastante fundamental.

A modo de ejemplo pedagógico, dado que ninguna coordenada del espacio es mejor que otra (simetría de traslación), si una masa va desde A hacia B en un tiempo T, podemos poner otro tramo AB detrás del primero y tardará el mismo tiempo en recorrerlo. Tampoco puede hacer un movimiento aleatorio entre el tramo (A,B) pues al dividirlo entre 2,3,4… las porciones no serian traslaciones reciprocas. Ello implica la conservación de la velocidad. Si se ha tenido algún cuidado en introducir la definición de masa, esta no depende de la posición y por tanto m·v o el momento lineal permanecen constante. 

Solo en el recorrido de la derecha se respeta la invariancia traslacional del movimiento

SIMETRIA AL ZOOM

A la hora de explorar las posibles simetrías del universo podría existir la que puede llamarse simetría Zoom y que de hecho no parece que se presente. Esta es la simetría que puede percibirse al explorar fractales, en donde no se puede distinguir a priori el nivel de zoom en el que se está observando. De existir esta simetría el universo seria a la vez infinito e infinitesimal; se podría hacer zoom hacia fuera o hacia dentro recursivamente pues ninguna escala esta privilegiada sobre otra para ponerle fin. Además, una estructura dada podría volver a aparecer en escalas diferentes; como el clásico átomo que a su vez es un sistema planetario. Podría llamársele universo zoom a un universo con esta simetría.

MEDIR EL ESPACIO-TIEMPO

Sin entrar en mayores detalles, podríamos imaginar que en dicho universo existieran unos engranajes engarzados en una procesión infinita. Cada engranaje podría ser la mitad del tamaño del siguiente y así sucesivamente. Dichos engranajes giran acopladamente (supondremos que carecen de dientes y que en realidad son ruedas girando acopladamente) y los habitantes de dicho universo zoom aceptan que el patrón segundo para ese nivel de escala corresponde con el tiempo que tarda el engranaje de su escala en dar una vuelta sobre si mismo. Siendo que el metro patrón es la anchura del engranaje aceptado.

En una primera inspección se atiende a que los engranajes más pequeños giran más rápido que los más grandes; el producto w·r donde w es la velocidad angular y r el radio permanece constante para cada engranaje, por tanto a velocidad angular depende de la escala. Esto implica que el tiempo se mide más despacio cuanto mayor sea la escala y si la física es invariante a la escala, los procesos físicos deben de ser más rápidos cuando menor es la escala y más lentos cuanto mayor sea. Así un día para los habitantes de gran escala seria un año para los habitantes en una escala 365 veces menor.

PROPIEDADES DE LA MATERIA

De momento solo se tienen formas geométricas que pueden moverse libremente, como los engranajes que hemos tratado. Pero no sabemos nada de qué propiedades se pueden atribuir a estas formas geométricas.

Para ir viendo lo que puede hacerse y no en este universo, supóngase que se tiene un cubo con carga eléctrica, que dividimos recursivamente en 8 partes en una secuencia infinita. Se ve que cada carga puede fraccionarse tanto como se quiera según se fracciona el cubo. Dado que cualquier trozo de materia es indistinguible de un trozo menor, no pueden existir un trozo que contenga una partícula elemental indivisible. En lugar de ello las propiedades de la materia están distribuidas en forma de densidades en cualquier escala.

Además, las propiedades de la materia no podrán ser aleatorias, sino que solo podrán darse aquellas que permitan la invariancia a escala en cualquier experimento que pueda darse. Por ejemplo, varias forma de mostrar que en nuestro universo no existe simetría al zoom es que:

• Existe un diámetro critico para una bola de plutonio a partir del cual se origina una fisión en cadena. (Existen Fuerzas nucleares)
• Existe una escala en la que una bola de plomo funciona como lente gravitatoria. (Existe Fuerza gravitatoria)
• Existe una escala en el que un volumen con carga 1/3e- puede adsorber un volumen con carga positiva e+ que pasa cerca (Existe la fuerza electro-débil).
• Existe un diámetro critico para una bola con una densidad volumétrica de carga a partir del cual se despedaza (Existe la fuerza electromagnética).
• Existe una escala en donde el principio de incertidumbre comienza a manifestarse. (Existe la mecánica cuántica)

Se ve que las interacciones usuales no podrían aplicarse en un universo Zoom, ni las nociones de carga o masa gravitatoria.

LA DENSIDAD DE MASA

La primera propiedad que se puede atribuir a una forma geométrica será la densidad de masa inercial M. Esta propiedad se conjuga con las magnitudes dinámicas para dar lugar a las conservación de momentos y energía usuales, basadas en las simetrías usuales que también son validas para el universo zoom. 

NUEVO ELEMENTO DE LA DINAMICA

Pero la dinámica del universo zoom sería equivalente a la ordinaria si no se introdujera un nuevo tipo de <<movimiento>>. Haciendo la extrapolación, a la simetría zoom le corresponde una nueva forma de desplazamiento y una nueva ley de conservación. Dado que la invariancia corresponde a la escala en la que esta siendo observado el sistema, la conservación versa sobre la dinámica de estos sistemas de pasar de una escala a otra. Esta dinámica, que por alguna casualidad parece tener algo que ver en nuestro universo, es la inflación.

Podemos definir la inflación como el aumento o disminución que experimenta un volumen sin que tenga lugar ninguna deformación topológica adicional en su frontera. Tratemos ahora de encontrar una expresión matemática que cuantifique esta inflación. Para ello tomemos una arista de longitud 1u de la forma que está en la escala 1e, supongamos que la arista se duplica en t segundos medidos en 1e y pasa a ser un objeto de la escala 2e con 2·1u de volumen. Tomará t segundos medidos en la escala 2e para pasar a la escala 3e y así debemos iterar sucesivamente. Sabemos que t segundos en la escala 2e son 2·t segundos en la escala 1e, pero la inflación de longitud en 2e es el doble que desde 1e. Por tanto la velocidad de inflación permanece constante. Lo cual puede expresarse sencillamente:

Donde k es la velocidad en la que un punto determinado se aleja. Es muy importante hacer notar que no todos los puntos de la forma se estarán alejando a la misma velocidad; para que la morfología se conserve, la velocidad dependerá del punto considerado, y lo valores máximos de k se alcanzaran en la frontera.

Por otra parte no es una inflación exponencial; es a velocidad constante medida desde un referencial.

PINCELADAS DE LA DINAMICA DE LA INFLACION

Supóngase que en este universo existe una geometría con forma de pesa que ha comenzado a inflarse en la escala 1e, porque algo le ha trasmitido una k. La pesa se estaba desplazando y rotando como una estrella binaria antes de comenzar a inflarse, y por tanto tenia unos momentos angular y lineal, que imponemos que se conserven durante la inflación. Para poder poner en marcha el proceso de inflación es necesario trasmitir una energía cinética asociada a la k acorde con la velocidad de expansión-contracción de las partes.

Visto desde la perspectiva de los objetos de 1e, su centro de masa deberá conservar su momento lineal y su energía cinética, lo que conjuntamente implica que la masa y la velocidad lineal del centro de masas se conservan durante la inflación.

Ahora también se tiene una energía cinética y momento angular asociada a la rotación. La energía cinética de rotación se conserva, si se impone que la velocidad de rotación en la frontera no varia durante la inflación. Esto implica que si un reloj aumenta de escala, pasa a tener un ritmo sincronizado con los relojes de esa escala. Todo esto conduce además a que el momento angular mvr, no se conserva durante la inflación dado que r está aumentando (o disminuyendo) mientras v angular permanece constante.

LA INTERACCIÖN QUE PERMITE EL TRASPASO DEL MVR

Se ha visto que para iniciar la inflación es necesario trasmitir una energía cinética asociada a k y además las variaciones de momento angular deben sostenerse mediante algún mecanismo.

Es muy fácil comprobar que dos sistemas idénticos que parten del reposo inflacionario relativo, podría empezar uno a inflarse con k y otro a desinflarse con –k y el momento angular que pierde uno se compensa con el que ganaría el otro. Este resultado es extensible para formas diferentes siendo las velocidades inflacionarias k1 y K2:

m1·v1·R1·k1=∆L1 El incremento de L para el primer objeto

m2·v2·R2·k2=∆L2 El incremento de L para el segundo objeto

Dado que ∆L1+∆L2=0, solo hay que poner k2 en función del resto de variables para encontrar su valor. Donde R1,R2,v1,v2 son magnitudes reducidas.

En principio queda libre el describir como es la idiosincrasia de la interacción, establecerlo  a distancia, alguna modalidad de campo de fuerza, o un <<choque>> al modo dela dinámica clásica. Fundamentalmente seria necesario trasmitir una energía cinética a la inflación, pudiendo obtenerse del choque entre objetos si este es inelástico.

CONSERVACION DEL MOMENTO INFLACIONARIO

De las leyes de conservación estudiadas se deduce una nueva, que es la conservación de momento inflacionario que dice:

FIN DEL TIEMPO

Sucede que existe un referencial A desde donde se puede ver un objeto (digamos un sobre con el impuesto sobre bienes inmuebles dentro) que se está comprimiendo con una -k constante, alcanzado radio nulo en un tiempo finito. Aunque para el sobre, el tiempo trascurre interminablemente, dado que cuanto más pequeño tanto más rápido corre el reloj. A pesar de que el tiempo ya no está usualmente definido en el referencial del sobre más allá del radio nulo, si lo está para el objeto con quien ha trasmitido momentos y en virtud de esto, el sobre deberá seguir teniendo momento lineal y contribuyendo con decrecimiento de momento angular para que tenga lugar la conservación.

Para cumplir con esto el sobre emergerá del radio nulo con momento inflaciónario k positivo, pero girando en sentido contrario. No solo eso sino que tendrán lugar unos cambios topológicos inusuales, siendo que las superficies interna y  externa se habrán intercambiado. Si en vez de un sobre fuera la Tierra la que sufriera el viaje,  emergería del radio nulo como una esfera de hierro incandescente estando en su centro la atmosfera.

PRINCIPIOS DE RELATIVIDAD CLASICOS

En un espacio con simetría de traslación es posible enunciar el principio de relatividad de Galileo, pero es falso que en un espacio con simetría de rotación exista un principio de relatividad asociado al giro. Un señor girando sobre si mismo se mareará por mucho que piense que con respecto a él es el mundo el que gira; la velocidad angular es una velocidad absoluta. No obstante como se vio en la entrada  PRINCIPIO DE TENSIONALIDAD–EL PROBLEMA DE LA CARGA ELECTRICA SOBRE EL PLANETA, siempre es hipotéticamente posible crear un campo de fuerza que anule el estado tensional incluso de una objeto girando a gran velocidad sobre si mismo. Lo cual es innecesario en el caso de la relatividad para la traslación.

En el caso de una espacio de simetría al Zoom existe también un principio de relatividad al zoom y esto es porque la inflación no crea ningún estado tensional (no confundir tensiona con tensorial, tensiones son fuerzas internas) en la geometría. No aparecen fuerzas ficticias durante el zoom. Por tanto un referencial es incapaz de saber si se está expandiendo o contrayendo.

VELOCIDAD DE LA LUZ

No habría mayor problema si en este universo zoom existiera luz que o bien se traslada instantáneamente o bien se comporta como otro móvil cualquiera sufriendo las trasformaciones de galileo y por tanto no teniendo una velocidad constante.

La cuestión es si incorporando las trasformaciones de Lorentz que hacen la velocidad de la luz constante el universo planteado sigue siendo indistinguible al zoom. En primer lugar se debe de comprender que para cualquier objeto del que se desea medir su velocidad (por ejemplo la rotación del engranaje) esta medida es siempre la misma independientemente de la escala, puesto que al aumento de la unidad de medida espacial le corresponde el equivalente aumento de la unidad de medida temporal, por tanto la luz tiene de partida la posibilidad de tener una velocidad C siempre constante para cualquier escala.

A priori los objetos del universo zoom pueden alcanzar velocidades infinitas; para mostrar esto supongamos que se tiene un tren de engranajes cada uno de los cuales tiene el doble de diámetro del anterior. Se aplica un momento inflacionario de modo que el engranaje siguiente duplica su tamaño en 1 segundos medidos desde el anterior. Dado un engranaje n de radio R el siguiente engranaje n+1 pasara a tener radio 2·R, siendo la velocidad de la periferia de R/2. El siguiente engranaje n+2 pasara de 2·R a 4·R siendo la velocidad medida desde n de R. Haciendo K la distancia entre engranajes por inducción la velocidad en función de K:

Si se introducen los postulados de la RE los engranajes mayores empezarían a sufrir trasformaciones Lorentzianas. Nada indica que incluir estos postulados afecte a la indistinguibilidad Zoom.