CADENAS AUTOREFERENTES COMO CADENAS MAL FORMADAS Y SUS CONSECUENCIAS EN EL TEOREMA DE GÖDEL

BREVE DESCRIPCION DE LA DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE GÖDEL

El lenguaje de un sistema formal como la aritmética es capaz de expresar oraciones que son indecidibles dentro del propio sistema formal, esta es un conclusión directa del teorema de la incompletitud de Gödel. La demostración puede entenderse a través del siguiente esquema:

1º Se toma un sistema formal lo suficientemente potente, (por ejemplo la aritmética). Este sistema formal cuenta con un conjunto de símbolos, cuenta también con unos axiomas y unas normas de inferencia de teoremas.

2º La numeración de Gödel: a cada cadena de caracteres se le asigna un número, de modo que una cadena tenga un único número de Gödel y viceversa.

3º Las normas de inferencia se convierten en operaciones aritméticas, una oración será decidible si es posible reducir su número de Gödel mediante operaciones aritméticas al numero de Gödel correspondiente a cualquiera de sus axiomas.

4º Se construye el numero de Gödel de una oración del tipo "Esta oración no es deducible" que no puede demostrarse en ningún sistema formal consistente, pues implicaría demostrar también su negación.

5º Se concluye que el número de Gödel asociado a dicha oración indecidible no puede derivarse a ninguno de los números de Gödel de los axiomas mediante las operaciones aritméticas de inferencia. Por tanto se encuentra una oración aritmética, véase un problema aritmético que no es decidible dentro de la propia aritmética.

6º Se concluye que el lenguaje de un sistema formal como la aritmética es capaz de expresar oraciones que son indecidibles dentro del propio sistema formal.

LAS CADENAS MAL FORMADAS

Existen sucesiones de símbolos que no tienen sentido alguno y que no han podido ser construidos a partir de los axiomas y las operaciones de inferencia. Por tanto y en principio el número de Gödel asociado a estas cadenas mal formadas representa un problema aritmético que es indecidible dentro del sistema formal, lo cual representaría una demostración más sencilla del teorema de Gödel. Ahora bien, es posible elaborar un procedimiento para detectar cadenas mal formadas de modo que incorporando este procedimiento al sistema formal estas cadenas son decidibles. De modo que la demostración de la indecidibilidad debe de ser otra.

CADENAS AUTOREFENTES COMO CADENAS MAL FORMADAS

Del mismo modo, no parece difícil elaborar del mismo modo un procedimiento capaz de detectar todas aquellas cadenas autorefentes que contengan paradojas, e incorporar este procedimiento al sistema formal. En el caso que sea difícil elaborarlo no se ha demostrado que no se pueda hacer. Para el sistema formal que resultara de incluir dicho procedimiento no podría demostrarse su indecibilidad por el método de Gödel. Es decir el teorema de Gödel solo se encuentra determinado para un sistema formal que no incluya dicho procedimiento. En todo caso no se ha demostrado que tal sistema formal no sea posible ni que de existir alguna de sus oraciones fuera indecidible.

MULTIDIMENSIONALIDAD COMO CAJA CERRADA

INTRODUCCION

En la física se lleva tiempo sugiriendo teorías que en su vocación por modelar la realidad incluyen elementos que están definidos en un número tal de dimensiones espaciales y temporales que exceden a las dimensiones sobre las que tenemos experiencia cotidiana e incluso profesional. En estas teorías están depositadas grandes esperanzas y por tanto grandes esfuerzos, no obstante en términos de su verificación científica distan mucho de alcanzar el estatus de otras teorías de las que se ha contrastado su fiabilidad. Pese a ello nada impide a priori que los modelos multidimensionales se terminen imponiéndose experimentalmente en la física, hay que contar con ello para el siguiente análisis.

Un modelo que suponga menos dimensiones no puede sobrevivir a la más sencilla comprobación empírica.

POSIBILIDADES

Veamos un esquema y después su explicación:

Un modelo fiable del universo puede ser uno en el que sus dimensiones sean las ordinarias 3+1 o uno en que se definan dimensiones extra, por ejemplo 11. Si un modelo así se muestra exitoso cabe plantearse la siguiente disyuntiva. Antes de nada una aclaración:

COYUNTURAL O ESTRICTO

Supongamos una caja cúbica cerrada y blindada de 1 m de arista de la que salen dos ejes concéntricos y acoplados a ellos dos manecillas, como en un reloj. Realizar cualquier medición del interior de la caja es imposible pese a ello se pretende construir un modelo fiable del comportamiento de las agujas que por otro lado no es sencillo. Se puede terminar presentando un modelo en el que se define el interior de la caja como provista de una maquinaria dada, siendo este modelo plenamente satisfactorio. ¿Es lícito asumir que en la caja hay efectivamente el mecanismo descrito en el modelo? No, por la sencilla razón de que los mecanismos que corresponderían con las consecuencias observadas son múltiples y en todo caso no puede demostrarse su propiedad de solución única. Es decir la aceptación de que dentro de la caja hay un mecanismo determinado es meramente coyuntural y no se trata en contraposición de una aceptación estricta.

Es elemental que si algo tiene unas propiedades no puede tener otras, determinar estrictamente las propiedades de algo significa identificarlas de modo que estas sean las únicas posibles. Determinar que sobre una mesa hay una pera y no una manzana significa establecer con un error tolerable que las características observadas del elemento corresponde únicamente con la definición de pera.

MULTIDIMENSIONALIDAD COMO CAJA CERRADA

Del mismo modo que establecer que en vez de manzana hay pera se basa en observar aquellas características que no son comunes a ambos, para establecer que en vez de multidimensionalidad hay otra cosa se deben de observar todas aquellas características necesarias para distinguir la multidimensionalidad de todas aquellas cosas que no lo son. Se trata de observar pues todas las características que definen a las dimensiones como tal, no únicamente de las consecuencias que las definen parcialmente.

Observar N dimensiones implica observar un objeto o configuración que tenga N dimensiones. Toda experimentación o medida esta restringida a 3+1 dimensiones dado que es imposible construir un detector o patrón de mayores dimensiones, por tanto es imposible observar un objeto de mayor dimensión. En consecuencia es imposible observar multidimensiones, con lo cual la multidimensionalidad no puede ser estricta.

Un modelo multidimensional seria un modelo de caja cerrada. La multidimensionalidad es coyuntural. Dicho de otro modo no seria completamente falsable ni por tanto completamente verificable.

MULTIDIMENSIONALIDAD COMO COYUNTURAL

Una vez llegado a este punto se puede analizar el siguiente nivel, si el universo que hace fiable un modelo multidimensionalidad es realmente multidimensional o es por contra ordinario, este discernimiento es inalcanzable. De modo que se asevera finalmente que determinar la multidimensionalidad del mundo es imposible.

El esquema final tendría el siguiente aspecto:

Desde el punto de vista del método científico, utilitarista, ambas posibilidades son aceptables, aun cuando las teorías coyunturales recorran un camino y causen una desilusión que las teorías clásicas no recorrían ni producían, básicamente al postular unas propiedades que no son experimentables.

AXIOMA DE ELECCION

MULTIPLICIDAD AXIOMATICA O SIMPLICIDAD AXIOMATICA

En un principio se puede discutir si la matemática tiene una única estructura axiomática legítima o tiene varias. Es decir, si sistemas de axiomas no homólogos pueden ser ambos matemáticos. Con sistemas de axiomas no homólogos me refiero a aquellos entre los que es posible obtener teoremas diferentes dependiendo del sistema axiomático seleccionado. Esta cuestión es una cuestión de convenio, matemática será lo que se decida de modo que podría entenderse como matemática cualquier sistema axiomático o por el contrario un sistema axiomático particular con una peculiaridad.

LA PECULIARIDAD

La peculiaridad del sistema axiomático que he denominado como particular es que sus axiomas resultan evidentes. No existe ningún axioma preestablecido por el cual un sistema axiomático deba de contener axiomas evidentes, ni que estos axiomas no sean falsos con respecto a otro sistema axiomático. Es decir podríamos coger ZFC negar uno de sus evidentes axiomas y tendríamos un nuevo sistema axiomático, que quizás no tuviera mucho recorrido pero sistema axiomático consistente al fin y al cabo. No obstante este cambio no gustara, por razones "evidentes", mucha gente mostraría su descontento acerca de como la matemática es capaz de albergar semejante fechoría. Es decir, se espera que en matemática los axiomas sean evidentes, una evidencia por otra parte solo podemos asegurar que coincide con la experiencia y que nada podemos asegurar de su "universalidad". Sino se espera esto de la matemática no hay de que preocuparse, defino matemática en este contexto aquella en la que sus axiomas son evidentes. He aquí que evidencia es un término difuso, por tanto valorar un determinado sistema axiomático como matemático puede depender de las distintas personas y situaciones.

¿Existe algún criterio mas fuerte que la evidencia subjetiva? Dado que la importancia y la relevancia que ha adquirido la matemática se debe a su capacidad para servir de herramienta y base para los modelos que han permitido obtener rendimientos del mundo, podríamos decir que los axiomas del sistema matemático son aquellos que permiten una modelizacion del mundo, porque esta a sido su labor desde un principio.

AXIOMA DE ELECCION

Axioma utilizado en demostraciones matemáticas que asevera que es posible formar un conjunto utilizando cualesquiera elementos de otros cualesquiera conjuntos.

No obstante parece evidente que para aquellos elementos que pueden pertenecer a un conjunto pueden presentarse 4 situaciones, cada uno de los cuales tiene múltiples ejemplos:

A: En la que los elementos pueden pertenecer a un conjunto solo si en ese conjunto no se encuentran otros elementos dados.

Supongamos que un conjunto de protones y otro conjunto de antiprotones y nos proponemos crear un conjunto que contenga un protón y un antiprotón. El conjunto de tomar un elemento de cada contiene fotones.

B: En la que los elementos pueden pertenecer a un conjunto solo si en ese conjunto se encuentran otros elementos dados:

Supongamos una vela que tiene una llama, extraemos la llama a otro conjunto, la llama se extingue.

AB: Cuando se verifica A y B:

Supongamos una vela de materia y otra de antimateria, es necesario extraer la llama con la vela pero sin añadir la de antimateria

C: En la que los elementos pueden pertenecer a un conjunto independientemente de si se encuentran o no otros elementos.

El axioma de elección imposibilitaría definir elementos tales que provocaran los escenarios A, B y AB lo cual es lo suficientemente preocupante como para no incorporar el axioma, dado que aceptar A, B y AB resulta natural. Por otra parte dicho axioma establecería unas condiciones que no se corresponden con las que deberían de esperarse de una base modelizadora para el mundo que incorpora la exclusión mutua o inclusión necesaria.

Véase la Paradoja de Banach-Tarski