lunes, 21 de abril de 2008

TORRE

Estudiemos un caso ideal, en el que no hay viento, ni flexión ect. Supongamos que queremos construir una torre bidimensional con unos cuadrados de lado 1 y con una masa 1. Cada cuadrado es capaz de soportar un peso de P (incluyendo su propio peso), de modo que según se valla construyendo será necesario aumentar el numero de cuadrados por piso. Suponemos que el peso se reparte idénticamente entre los cuadrados adyacentes.

Supongamos P=1000. Para construir la torre formaríamos columnas de 1000 alturas y de anchuras que van desde 1 hasta N. Un grupo de 1 anchura se sitúa encima del grupo de 2 anchuras y este sobre uno de 3, así sucesivamente. El segundo grupo no cumple las condiciones de resistencia impuestas, puesto que aparte de las 2000 suyas debe de soportar 1000 del grupo de 1 anchura, por tanto deberemos de restarle una determinada altura a este 2º grupo, y lo mismo sucede con las sucesivas. Mediante dicho razonamiento llegamos a la siguiente expresión:



Recordemos que P es lo que puede soportar cada bloque, Altura (7) significa la altura que tiene la parte del rascacielos que tiene una anchura de 7 cuadrados.


Se pueden realizar ciertas observaciones:

  • La altura de cada grupo de anchura N disminuye en un factor N.
  • El número de cuadrados es constante para cada grupo de determinadas anchuras.
  • La solución no es siempre en números enteros, la interpretación rigurosa de la misma seria que podríamos colocar cuadrados en la estructura que han sido cortados a una determinada altura.
Podríamos representar en una grafica la anchura N que tendría la torre en función de la altura, la altura es el sumatorio de los términos de Altura(N), de modo que :

Altura=P·(1/2+1/3+1/4+.........+1/N).

Se trata de la serie armónica, que no tiene limite superior, por tanto la altura de la torre construida de esta forma podría ser tan alta como quisiéramos. La serie armónica puede aproximarse a la función Altura=P*Log(N+1). Podemos representar mediante un generador de graficas dicha función y rotarla para mostrar la silueta de una torre construida con el método propuesto.



Si lo que queremos construir es una torre tridimensional, deberemos representar la raíz cuadrada de la anchura, en tal caso la grafica resulta mas esbelta. Aunque del mismo modo tarde o temprano dibuja una extensa llanura.

Como ejemplo supongamos que queremos construir una torre con bloques cúbicos de hormigón con una anchura de 1 m (siguiendo el método propuesto). El hormigón tiene una densidad (aprox) de 2000 kg/m3 y le supondremos una resistencia a compresión de 200 kg/cm2 lo cual nos da que cada bloque es capaz de soportar 200·10000/2000=1000 bloques de hormigón. La grafica muestra la altura a la que llegaría (metros) si tuviera 100 metros de base:



Supongamos que queremos hacer una torre que llegue hasta la estación internacional que se encuentra a unos 360 Km, pues entonces la base de la torre de hormigón tendría que tener 100.000.000.000.000.000 kilómetros. Es decir, aproximadamente 9500 años luz de base.



2 comentarios:

Pasión dijo...

Bienvenido a Andalucía: me encantan los vascos/as razonables, que son seguramente la mayoría, no me cabe ninguna duda. Espero con alegría sus comentarios.

Ministro Iñigo dijo...

Quedan inaugurados los comentarios.
Supongo que le parecera que la gente razonable es encantadora, de todos modos si ha esperado con alegria mi comentario quizas deberia de haberle echo esperar un poco mas.

Saludos