jueves, 23 de julio de 2009

CADENAS AUTOREFERENTES COMO CADENAS MAL FORMADAS Y SUS CONSECUENCIAS EN EL TEOREMA DE GÖDEL


BREVE DESCRIPCION DE LA DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE GÖDEL

El lenguaje de un sistema formal como la aritmética es capaz de expresar oraciones que son indecidibles dentro del propio sistema formal, esta es un conclusión directa del teorema de la incompletitud de Gödel. La demostración puede entenderse a través del siguiente esquema:

Se toma un sistema formal lo suficientemente potente, (por ejemplo la aritmética). Este sistema formal cuenta con un conjunto de símbolos, cuenta también con unos axiomas y unas normas de inferencia de teoremas.

La numeración de Gödel: a cada cadena de caracteres se le asigna un número, de modo que una cadena tenga un único número de Gödel y viceversa.

Las normas de inferencia se convierten en operaciones aritméticas, una oración será decidible si es posible reducir su número de Gödel mediante operaciones aritméticas al numero de Gödel correspondiente a cualquiera de sus axiomas.

Se construye el numero de Gödel de una oración del tipo "Esta oración no es deducible" que no puede demostrarse en ningún sistema formal consistente, pues implicaría demostrar también su negación.

Se concluye que el número de Gödel asociado a dicha oración indecidible no puede derivarse a ninguno de los números de Gödel de los axiomas mediante las operaciones aritméticas de inferencia. Por tanto se encuentra una oración aritmética, véase un problema aritmético que no es decidible dentro de la propia aritmética.

Se concluye que el lenguaje de un sistema formal como la aritmética es capaz de expresar oraciones que son indecidibles dentro del propio sistema formal.


LAS CADENAS MAL FORMADAS

Existen sucesiones de símbolos que no tienen sentido alguno y que no han podido ser construidos a partir de los axiomas y las operaciones de inferencia. Por tanto y en principio el número de Gödel asociado a estas cadenas mal formadas representa un problema aritmético que es indecidible dentro del sistema formal, lo cual representaría una demostración más sencilla del teorema de Gödel. Ahora bien, es posible elaborar un procedimiento para detectar cadenas mal formadas de modo que incorporando este procedimiento al sistema formal estas cadenas son decidibles. De modo que la demostración de la indecidibilidad debe de ser otra.


CADENAS AUTOREFENTES COMO CADENAS MAL FORMADAS

Del mismo modo, no parece difícil elaborar del mismo modo un procedimiento capaz de detectar todas aquellas cadenas autorefentes que contengan paradojas, e incorporar este procedimiento al sistema formal. En el caso que sea difícil elaborarlo no se ha demostrado que no se pueda hacer. Para el sistema formal que resultara de incluir dicho procedimiento no podría demostrarse su indecibilidad por el método de Gödel. Es decir el teorema de Gödel solo se encuentra determinado para un sistema formal que no incluya dicho procedimiento. En todo caso no se ha demostrado que tal sistema formal no sea posible ni que de existir alguna de sus oraciones fuera indecidible.

30 comentarios:

José Luis Ferreira dijo...

Iñigo:

Cuando dices

"es posible elaborar un procedimieto para detectar cadenas mal formadas de modo que incorporando este procedimiento al sistema formal estas cadenas son decidibles"

supongo que te refieres a que es posible a las cadenas "mal formadas" en el sentido de que son indecidibles, pero "bien formadas" en el sentido que "respetan la gramática" del sistema (es decir, no te refieres a cosas como "4+<=-").

Supongo también que te refieres entonces a que el procedimiento es incorporar estas cadenas (o sus negaciones) como nuevos axiomas.

No entiendo entonces lo de que la prueba de Gödel no vale para el nuevo sistema formal. Vale perfectamente, sólo que la prueba incorporará más elementos.

Dices luego:

"no parece dificil elaborar del mismo modo un procedimiento capaz de detectar todas aquellas cadenas autorefentes que contengan paradojas"

precisamente lo que dice el teorema de Gödel es que esto es imposible. No existe tal procedimiento. Si existiera, el sistema que lo contuviera sería completo, y el teorema dice que eso no puede ser. El teorema de Gödel siempre encuentra un enunciado indecidible en cada sistema formal (que contenga los naturales).

Iñigo dijo...

Hola José Luis, con "mal formadas" me refiero a.

"Del mismo modo, no parece dificil elaborar del mismo modo un procedimiento capaz de detectar todas aquellas cadenas autorefentes que contengan paradojas"

En analogia a los procedimientos que detectan lo que habitualmente se denominan cadenas mal formadas "4+<=-" que finalmente resuelven el problema aritmetico asociado, se trata de incluir un procedimiento que detecte paradojas, haciendo que A=¬A sea paradoja. Nosotros somos capaces de detectar paradojas con la simple utilizacion de sus implicaciones logicas, de hecho para aceptar el teorema de Godel es necesaria la apreension logica de la paradoja presentada. No se trata de incorporar el numero indecidible al sistema axiomatico, se trata de incorporar un procedimiento, no se trata de incorporar 34+<=- se trata de incorporar un procedimiento.

La prueba de Godel no valdria para este nuevo sistema formal, porque en ella las paradojas son localizadas y su asociado aritmetico tiene solucion.

El teorema de Gödel es en principio particular que afecta un sistema formal dado, extender este teorema a sistemas formales no homologos no es permisible. En el sistema que planteo la oracion de Gödel seria decidible.
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No se si aun requieres de la siguiente aclaracion, pero quizas termines tropezandote con ella: Cuando hacemos que /6¬5/)( sea decidible estamos incorporando dentro del sistema formal procedimientos que son capaces de generar sentencias absurdas, evidentemente a la hora de utilizar adecuadamente dicho sistema formal no utilizamos ninguno de dichos procedimientos y asi elaborar teoremas digamos "buenos" y eso no supone ninguna duda ni quebradero de cabeza, del mismo modo incorporar dentro del sistema Axiomas tipo A=¬A es paradoja harian decidibles las paradojas, y como en el caso del procedimiento anterior se sabe que procedimientos y que axiomas no utilizar para encontrar teoremas de la categoria de los "buenos" y ello no debe de suponer ningun quebradero de cabeza.

José Luis Ferreira dijo...

Las sentencias absurdas son detectables y rechazables. De hecho, no están en el sistema formal.

Las indecibles no son absurdas. En el caso que fuera posible detectarlas mediante un algoritmo dentro del propio sistema. Incluir este algoritmo o método no resuelve la cuestión. ¿Qué haces ahora con tal proposición? ¿La mantienes? El sistema seguiría teniendo proposiciones indecibles. ¿Mantienes la negativa? El teorema de Gödel te dice que no acabarás nunca la tarea.

Dices que no se trata de incorporar o no la proposición indecible, pero no puedes evitar tener que hacerlo.

Iñigo dijo...

Veamos:

1º El enunciado indecidible en el teorema de Gödel es una paradoja.
2º Un sistema formal que detecte paradojas haria decidible el enunciado de Gödel, incluso cualquier enunciado recursivo del mismo porque seria de nuevo una paradoja. Del mismo modo que un sistema formal que detecta frases mal hechas los hace decidibles. Por tanto su incompletitud no esta demostrada, ni su completitud claro.

¿Que enunciado podria demostrar la incompletitud de este sistema formal?

José Luis Ferreira dijo...

"Un sistema formal que detecte paradojas haria decidible el enunciado de Gödel"

Esto no es cierto. El enunciado se ha detectado, no ha ocurrido nada más. ¿Cuándo ha dejado de ser indecidible?

Por lo demás, estás suponiendo que el procedimiento que has metido en el sistema formal está él mismo libre de pecado. Me da que este procedimiento contendrá el germen de su destrucción. ¿Podrá detectar los enunciados indecidibles generados por él mismo? No, si es suficientemente potente para contener los naturales, y tendrá que serlo para detectar las sutilezas de Gödel en el sistema en el que lo incorporas.

No hay escape al teorema de Gödel.

Iñigo dijo...

Vamos a ver,la oracion de Gödel nunca a dejado de ser indecidible para el sistema formal que estudio Gödel. La indecibilidad del enunciado de Gödel depende de si el sistema formal es capaz de incapaz de decidir paradojas, un sistema que es capaz de decidir paradojas es capaz de decidir la oracion de Gödel por ser una paradoja. Tautologico, mas claro agua.

2º ¿Puede un sistema formal ser capaz de decidir paradojas? Si, nosotros lo hacemos con certeza y de hecho aceptar la demostracion de Gödel supone aceptar que decidir paradojas es un proceso matematico. Basta a botepronto para decidir una que la oracion presente la afirmacion y la negacion de una propiedad.


¿Podrá detectar los enunciados indecidibles generados por él mismo?

Creo que no estas prestando el minimo exigible de atencion.

2º Un sistema formal que detecte paradojas haria decidible el enunciado de Gödel, incluso cualquier enunciado recursivo del mismo porque seria de nuevo una paradoja.

Incluida en la contestacion anterior de solo dos parrafos.

José Luis Ferreira dijo...

Iñigo:

Tu hipotético criterio se parece a la criba de Eratóstenes para detectar números primos. Lo metes en el sistema y se dedica a ver si, una por una, las proposiciones son o no indecidibles. ¿Que no lo son? No pasa nada, ¿que lo son? se decanta por aceptar una de las alternativas y sigue adelante en el nuevo sistema.

¿Es esto lo que propones? Es decir, ¿propones considerar un sistema original (S) y añadirle este procedimiento (P)?

Sobre este nuevo sistema (S,P), ¿estás diciendo que es completo?

Iñigo dijo...

¿propones considerar un sistema original (S) y añadirle este procedimiento (P)?

Si

Sobre este nuevo sistema (S,P), ¿estás diciendo que es completo?

No, no estoy diciendo que el nuevo sistema sea completo o que no lo sea, estoy diciendo que para el nuevo sistema la oracion de Gödel es decidible y por tanto a priori su incompletitud no esta demostrada. Dicho de otro modo no podemos aplicar el teorema de Gödel a dicho sistema, ni nada sabemos acerca de la decibilidad o indecibilidad de los enunciados que soporta.

José Luis Ferreira dijo...

Pero el teorema de Gödel dice que el nuevo sistema contendrá enunciados indecidibles, puesto que sigue cumpliendo las hipótesis del teorema (que el sistema pueda expresar los números naturales).

No será indecidible el enunciado que el teorema de Gödel construía para su prueba de que el sistema S es indecidible, pero sí que lo será el enunciado que el teorema de Gödel construye para el sistema (S,P).

Iñigo dijo...

Una cosa es lo que dice la literatura popular sobre el Teorema de Gödel que todos nos hemos artado de conocer y otra cosa es lo que el analisis logico dice.

No es la unica hipotesis (postulado) que el sistema sea capaz de expresar los numeros naturales, el teorema de Gödel lleva implicitos otros postulados como que las paradojas son indecidibles en cualquier sistema formal, lo cual es falso (podemos detectar una frase paradojica mediante el empleo de logica) o en todo caso indemostrado. De modo que el teorema de Gödel al final solo tiene validez para un sistema formal que es incapaz de decidir paradojas. Esto es claro y directo.

No será indecidible el enunciado que el teorema de Gödel construía para su prueba de que el sistema S es indecidible, pero sí que lo será el enunciado que el teorema de Gödel construye para el sistema (S,P).

¿Tienes algun argumento que respalde esa afirmacion? He argumentado un par de veces su negacion. Tu partes de que el Teorema de Gödel es cierto para el sistema que decide paradojas, y no estas prestando atencion a los argumentos que te presento. Aqui el objetivo es realizar un analisis logico de las implicacion de un sistema que decida paradojas en dicho teorema, no la de cacarear un eslogan.

José Luis Ferreira dijo...

A ver, Iñigo, no te me enfades. Yo intento entender lo que dices, pero no me cuadran las cuentas.

¿En qué parte de la prueba del teorema de Gödel se dice que es una hipótesis que el sistema no sepa detectar y decidir enunciados indecidibles?

He vuelto a repasar el teorema por si se me escapaba algo:

http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf

y no veo nada de eso. No lo dice ni lo usa implícitamente, porque, de hecho, la prueba del Teorema VI del artículo encuentra un enunciado tal. El teorema no sería falso por haber incluido entre las premisas "y sea el sistema tal que pueda encontrar y decidir proposiciones indecidibles ¿?". El teorema seguiría siendo cierto y esta hipótesis, por tanto, falsa.

Así que, o bien el sistema (S,P) tiene enunciados indecidibles o bien no existe el procedimiento P que localice y decida todas las proposiciones indecidibles de S.

En el segundo caso tu petición "Aqui el objetivo es realizar un analisis logico de las implicacion de un sistema que decida paradojas en dicho teorema" fallaría porque tal sistema decididor no existe y proponer su existencia lleva a contradicción o a cualquier cosa.

El primer caso diría que el razonamiento verbal que haces no corresponde a ninguna prueba matemática.

Iñigo dijo...

¿En qué parte de la prueba del teorema de Gödel se dice que es una hipótesis que el sistema no sepa detectar y decidir enunciados indecidibles?

Pagina 16 del texto que me has pasado

contradict the !-consistency of .
Therefore forall(17; r) is not decidable from , whereby theorem VI is proved.


El autor asume que al ser contradictorio (al ser padoja) no es decidible, lo cual termina definiendo el sistema para el que es valida la demostracion, aquella en la que las paradojas no son decidibles.

Es decir si el autor considerada que un paradoja, una contradiccion, es decidible no deduciria el teorema VI

y no veo nada de eso. No lo dice ni lo usa implícitamente

Te he razonado que lo hace.

Lo siguiente que comentas depende directamente de que lo anterior quedara sin rebatir, y ha quedado rebatido.


El primer caso diría que el razonamiento verbal que haces no corresponde a ninguna prueba matemática.

Matematica y logica se puede hacer mediante razonamientos verbales.


Gödel

1º La oracion de Gödel es una paradoja.
2º Las paradojas no son decidibles en este sistema
3º La oracion de Gödel no es decidible

Servidor

1º La oracion de Gödel es una paradoja
2º Las paradojas son decidibles en este sistema
3º La oracion de Gödel es decidible

Logica pulcra

Ainara G.M. dijo...

Muchas gracias por pasarte por mi blog y dejar un comentario. La verdad es que no sé comola gente llega a mi blog, sobre todo la gente que no dibuja... yo normalmente me gusta buscar nuevos ilustradores y diseñadores y normalmente la gente hace eso pero a los que os dedicáis a otra cosa no tengo ni idea de como llegáis. De todas formas bienvenidos a todos eh? saludos desde santurtzi

Iñigo dijo...

Hola Ainara, lo artistico es universal asi pasa con la musica, asi que personalmente no me sorprende que ande ojeando un blog como el tuyo. Por otra parte llegar a un blog como el que tengo es mas complicado porque para que pueda parecer interesante hace falta tener una cierta formacion que no es universal. Por cierto, hace 3 semanas subi el Serantes, tiene unas vistas increibles al mar y al interior.

Saludos

José Luis Ferreira dijo...

Iñigo:

La demostración encuentra una proposición, la que llama

forall(17; r)

tal que ni ella ni su negación pueden demostrarse en el sistema:

forall(17; r) is not -provable.
not(forall(17; r)) is not -provable.

Esto no quiere decir que la proposición sea contradictoria en sí misma. Quiere decir que es indecidible y esto implica que su existencia contradice el supuesto de que el sistema era consistente. Esa sí es la contradicción.

El teorema no asume que al ser paradoja (al ser contradictoria con la consistencia) es indecidible. Deduce que la proposición es indecidible y que esto contradice la definición de consistencia del sistema.

Indecibilidad de alguna proposición e inconsistencia del sistema son la misma cosa, por definición:

witness
against !-consistency would be a formula a with one free variable where we can derive a(n)
for all n, but also :8n . a(n), a contradiction. (pag. 14)

Tendrías razón si fueran definiciones distintas y asumiera que, en su sistema, si se da una no se da la otra. De manera que habría lugar para otro sistema en que se diera una sin la otra (el tuyo). Pero no es el caso.

Gödel:

1.- La proposición de Gödel se puede construir en cualquier sistema formal (que incluya los naturales).

2.- La proposición de Gödel es indecidible (llama a esto paradoja o como quieras).

3.- Un sistema es consistente si no contiene proposiciones indecidibles.

4.- Cualquier sistema formal (que contenga los naturales) es no consistente.

Iñigo:

1.- Construyo un sistema (que contiene los naturales) en el que las paradojas son decidibles.

2.- La proposición de Gödel es una paradoja.

3.- La proposición de Gödel es deducible.

Te falla el punto 1. No puedes construir un sistema en el que las paradojas sean decidibles. No si la definición de paradoja incluye la proposición de Gödel. Si fuera verdad, no lo sería el punto 1 del esquema del teorema de Gödel.

José Luis Ferreira dijo...

Yo soy de Barakaldo. Hace años que me puse a dar vueltas por el mundo, pero he subido al Serantes unas cuantas veces. Es una de las excursiones con mejor relación calidad-precio que se pueden hacer en el mundo (si se vive en Bilbao o alrededores, pero eso es lo que incluye el mapa-mundi ¿no?).

José Luis Ferreira dijo...

En el párrafo de mi mensaje anterior:

"Tendrías razón si fueran definiciones distintas y asumiera que, en su sistema, si se da una no se da la otra. De manera que habría lugar para otro sistema en que se diera una sin la otra (el tuyo). Pero no es el caso."

sobra un "no". Debe ser:

"Tendrías razón si fueran definiciones distintas y asumiera que, en su sistema, si se da una se da la otra. De manera que habría lugar para otro sistema en que se diera una sin la otra (el tuyo). Pero no es el caso."

Iñigo dijo...

La demostración encuentra una proposición, la que llama

forall(17; r)


¿Porque forall(17; r) es no decidible (provable)?

The recurring forall(17; r) can be interpreted as there is no prove
for p(p), with other words, forall(17; r) states that the statement p(p) that states its own
improvability is improvable.


Esta frase es indemostrable.

Si la frase es demostrable entonces no es indemostrable. Contradiccion.

Por tanto demostramos que la frase es indemostrable. Contradiccion.

Esto no quiere decir que la proposición sea contradictoria en sí misma.

Pero lo es.

Es una paradoja, es una oracion detectable que puede ser procesada como lo son las cadenas mal formadas, ser decidible en un sistema dado.

1.- Construyo un sistema (que contiene los naturales) en el que las paradojas son decidibles.

Te falla el punto 1. No puedes construir un sistema en el que las paradojas sean decidibles.


¿por que no hiba a poder hacerlo? ¿no se pueden detectar paradojas acaso y negarles su semantica como a 2<=¬y|>x?

José Luis Ferreira dijo...

Iñigo:

Estás pasando del plano formal a la inerpretación. En el plano formal, la frase no se puede deducir y tampoco su contraria. Punto. Estos dos hechos son ciertos. Ninguno se puede deducir de la axiomática. No hay contradicción en este nivel.

Ahora quieres interpretar lo que está pasando, atribuyendo un significado a la proposición y te sale la paradoja. Pero la encuentras haciendo deducciones no dentro del sistema formal, sino en un sistema en el que aceptas la proposición como cierta para deducir que es falsa. Esto no lo puedes hacer en el sistema formal, porque no es cierta (ni falsa).

No puedes negar su semántica a la frase porque la tiene. Si usas un criterio para quitártela de enmedio (o a su negación), estás en otro sistema en el que se vuelve a aplicar el teorema. Un sistema que se autoquita todas estas proposiciones lo prohibe el teorema de Gödel.

Iñigo dijo...

Estás pasando del plano formal a la inerpretación. En el plano formal, la frase no se puede deducir y tampoco su contraria. Punto.

¿Y cual es el motivo en el plano formal por el cual no se puede deducir? No se puede deducir porque las implicaciones logicas formalmente expresadas de su afirmacion tanto como de su negacion son contradictorias, porque sus atributos vistos desde el punto de vista formal son los de una paradoja. Punto.

Pero la encuentras haciendo deducciones no dentro del sistema formal, sino en un sistema en el que aceptas la proposición como cierta para deducir que es falsa.

Una oracion o es verdadera o es falsa desde Aristoteles, sea decidible o no. No tengo que proponer ningun sistema extraño para dar con la paradoja que encierra la oracion forall.

No puedes negar su semántica a la frase porque la tiene.

¿La tiene?, no voy a discutir que para ti la tenga, que "esta frase es falsa" sea algo mas que un absurdo para ti (una forma original de poner 1=2), quizas para alguien &%678|x tenga sentido. La cuestion es posible construir un sistema formal donde sea posible detectarlos, puede que no te guste pero en ese sistema forrall se detecta, tambien se detectan de antemano cualquiera de sus variantes recursivas porque son formalmente paradojas, como se detectan los @##~5|x, el teorema de Gödel no es extensible a ella.

José Luis Ferreira dijo...

"No se puede deducir porque las implicaciones lógicas formalmente expresadas de su afirmación tanto como de su negación son contradictorias"

No, la razón por la que no se puede deducir es porque manipulando los símbolos del sistema formal a partir de los axiomas y reglas establecidas, no es posible expresar la proposición. Lo otro es interpretación en otro sistema (más o menos formal, según lo hagas).

La proposición no dice

"p no es deducible"
"no p no es deducible"
ni dice
"p es falsa"

La proposición dice

"p no es deducible en el sistema S"
"no p no es deducible en el sistema S".

Así, en tu interpretación lógico verbal, cuando dices

"esta frase no es demostrable"

deberías decir

"esta frase no es demostrable en el sistema S"

Ahora no puedes hacer el argumento anterior:

"si es demostrable, es indemostrable, contradicción"

tendrás que decir:

"si p es demostrable en el sistema S entonces es indemostrable en el sistema S, por tanto, o bien el sistema S es contradictorio, o bien el sistema S no contiene la proposición p ni no p". Esto último es lo que pasa con la proposición del teorema. La proposición de Gödel no hace al sistema contradictorio (podría serlo, pero por otras proposiciones), lo hace incompleto.

Si el sistema S no contiene p ni no p, esas proposiciones no pueden ser contradictorias en el sistema S porque no existen en tal sistema. Su contradicción existe en otro sistema en las que las consideras.

"Una oracion o es verdadera o es falsa desde Aristoteles, sea decidible o no"

No. Hay proposiciones que no son verdaderas ni falsas hasta que se proponen como axiomas en un sistema formal. El quinto postulado de Euclides no es ni verdadero ni falso en el sistema formado por los cuatro primeros axiomas. Si quieres decir

"el quinto postulado es verdadero"

tienes que hacerlo con referencia al sistema de la geometría euclídea.

Si quieres decir

"el quinto postulado es falso"

tienes que hacerlo con referencia a algún sistema de geometría no euclídea.

Lo que significa verdadero o falso hay que definirlo (tabla de verdad en la lógica proposicional, por ejemplo). En los sistemas formales hablamos de proposiciones deducibles. En estos sistemas está el teorema de Gödel.

"quizas para alguien &%678|x tenga sentido"

No, si estamos analizando un sistema en el que los símbolos no se pueden agrupar de esa manera.

En el sistema de los números naturales tenemos definidos los números. Con esto podemos definir la operación suma, que se refiere a dos cosas, la primera, a agrupar los símbolos de los números y de la operación de la siguiente manera:

x+y=z

donde x, y y z son números. La segunda a que se cumpla cierta regla entre lo que está a cada lado del símbolo "=". Hasta que no definamos más cosas, no se pueden poner los símbolos de otra manera. Así que poner

x+=z

no significa nada para nadie en este sistema (tal vez sí en otro) por definición.

Las proposiciones de las que podemos hablar son todas con la "gramática"

x+y=z

De ellas, algunas serán demostrables (1+1=2), en otros casos lo serán sus negaciones (se demuestra que 1+1=1 no se puede deducir de los axiomas y de las reglas de la operación suma), en otros casos lo serán los dos (y el sistema será contradictorio, algo que nadie ha demostrado que no ocurra con la aritmética) o no lo será ninguna (y el sistema es incompleto).

José Luis Ferreira dijo...

Sigo:

Detectar proposiciones con mala gramática es fácil, basta con observar la proposición.

Detectar proposiciones decidibles o indecidibles es difícil, en general: necesita considerar los axiomas y muchas otras proposiciones que se van construyendo para la demostración. No es inmediato que exista un procedimiento para detectarlas. El teorema de Gödel nos dice que ningún procedimiento nos permitirá detectarlas todas, puesto que el procedimiento, con el sistema, formará un sistema en el que se aplicará el teorema de Gödel.

A no ser que el procedimiento no sea un sistema formal, sino una especie de "intuición" de un ser intuitivo que, en cuanto ve una proposición indecidible en S dice "esta (o su negativa), dentro (o fuera)". En ese caso el sistema (S, ser intuitivo) podría ser completo y podría serlo porque no será un sistema formal. (Hablamos en hipotético, porque todo depende de que tal ser exista, yo lo veo imposible.)

Mientras el procedimiento sea formal, el sistema (S, procedimiento formal) estará sujeto a las limitaciones del teorema, porque será un sistema formal.

Iñigo dijo...

No, la razón por la que no se puede deducir es porque manipulando los símbolos del sistema formal a partir de los axiomas y reglas establecidas, no es posible expresar la proposición.

Claro, ¿Pero cual es el motivo, alguno debe de haber, por el cual la proposicion no puede construirse desde los axiomas sistema formal?

Porque las implicaciones logicas formalmente expresadas de su afirmacion tanto como de su negacion son contradictorias, y se supone que PM no puede construir contradiciones.

deberías decir

"esta frase no es demostrable en el sistema S"


Si la frase es demostrable en S entonces no es indemostrable en S. Contradiccion.

Por tanto la frase es indemostrable en S, se demuestra que lo es. Contradiccion.

Sigue siendo una paradoja en el sistema logico que he empleado, uno que existe.

No. Hay proposiciones que no son verdaderas ni falsas hasta que se proponen como axiomas en un sistema formal.

Eso no hace un No. Todas las proposiciones terminan siendo verdaderas o falsas incluso los axiomas, siempre dependiendo del sistema formal de referencia. Aunque lo que tu pretendes decir es que existen axiomas de los que no se puede aseverar su veracidad a traves de otro, lo cual es evidente.

El 5 postulado de Euclides no es "detectable" a partir de los otros 4, el 5º es cierto o falso segun el sistema axiomatico seleccionado. Pero Forall puede detectarse (si asi se diseña el sistema formal) con el simple hecho de añadir un procedimiento para detectar las paradojas. En dicho sistema Forall es decidible.

No, si estamos analizando un sistema en el que los símbolos no se pueden agrupar de esa manera.

Aunque el simbolo discreto tenga sentido en una frase mal echa la composicion de estos simbolos resulta absurda. Por ello se justifica su prohibicion. La composicion de una paradoja es tan absurda como la que resulta de la mala composicion de las frases mal hechas #~@#, asi te justifico su prohibicion. Pero no tengo porque justificarlo, solo definir el sistema en el que estan prohibidos.

Detectar proposiciones decidibles o indecidibles es difícil, en general:

No voy a discutir si es mas o menos facil, la cuestion es que en dicho sistema el teorema de Gödel no puede demostrarse, porque cualquier demostracion del teorema de Gödel que emplee una paradoja sera detectada en el proceso de verificacion del teorema.

A no ser que el procedimiento no sea un sistema formal, sino una especie de "intuición"

Que una oracion arroja conclusiones contradictorias es mas fuerte que la intuicion, es una deduccion logica.

José Luis Ferreira dijo...

"Claro, ¿Pero cual es el motivo, alguno debe de haber, por el cual la proposicion no puede construirse desde los axiomas sistema formal?"

El motivo es que el sistema no es completo, lo cual es un poco redundante, pero es lo que es. Sucede eso y el teorema de Gödel lo detecta.

En lo demás, sigues "saltando" del sistema formal a lo que podemos deducir fuera de él. Tu criterio supondría que esto que deduces fuera del sistema, se podría hacer desde dentro del sistema. Esto no puede ser, porque contradiría el teorema.

Iñigo dijo...

El motivo es que el sistema no es completo, lo cual es un poco redundante, pero es lo que es. Sucede eso y el teorema de Gödel lo detecta.

Vamos a ver, el autor utiliza el argumento de que forall no puede construirse en el sistema para deducir que no es completo. No como tu haces, que estableces que es incompleto de antemano. El autor utiliza un argumento para que forall sea inconstruible, y ese argumento evidentemente no es establecer de antemano que es inconstruible.

Terminas dando una respuesta sin sustancia a la pregunta porque no quieres aceptar que el motivo por el cual forall no puede decidirse es porque formalmente representa una contradiccion que nunca puede contener PM, que es el unico motivo.

Esto no puede ser, porque contradiría el teorema.

Si aceptas que el teorema es valido para todo sistema, es de lealtad de principios que pienses que no se puede hacer. Pero aqui de lo que se trata es de realizar un analisis a partir de unos elementos.

Los planetas giran en torno al sol porque tienen menor masa. Incorrecto, el sol gira en torno a la tierra porque asi lo dice el teorema del sol gira en torno a la tierra. Esto no es aceptable.

En lo demás, sigues "saltando" del sistema formal a lo que podemos deducir fuera de él

No realiza acaso un salto del sistema cuando el autor determina que forall no es decidible? Y no tiene ese saltar del sistema implicaciones sobre el sistema? claro que las tiene por eso se termina demostrando el teorema de Gödel aplicado a ese tipo de sistemas.

Pero de todos modos, de eso se trata de saltar de ese sistema formal que es incapaz de decidir una paradoja y sus formas recursivas a uno que sea capaz de hacerlo. Un salto si, pero un sistema formal tambien donde el teorema de Gödel tal como lo planteo no puede demostrarse.

José Luis Ferreira dijo...

No, no establezco nada de antemano. El sistema es incompleto porque se encuentran proposiciones indecidibles y se encuentran proposiciones indecidibles porque el sistema es incompleo. Es que ambas cosas son la misma. No hay salto fuera del sistema cuando se establece esto.

"Un salto si, pero un sistema formal tambien donde el teorema de Gödel tal como lo planteo no puede demostrarse."

Para cada sistema, puedes salta de él a otro, pero no puedes construir uno que los salte a todos y los complete.

Iñigo dijo...

No, no establezco nada de antemano. El sistema es incompleto porque se encuentran proposiciones indecidibles y se encuentran proposiciones indecidibles porque el sistema es incompleo

No has respondido aun porque el autor deduce que forall no es decidible en el sistema. El razomaniento que realiza el autor para ello. Que el sistema es incompleto y que forall es indecidible no es un argumento, es el objeto de la argumentacion.

no puedes construir uno que los salte a todos y los complete.

Pero mi intencion no es saltar una y otra vez para encontrar un sistema completo sino la de saltar a un sistema que detecta paradojas que aunque finalmente pueda resultar incompleto, el teorema de Gödel no pueda provarse.

José Luis Ferreira dijo...

El autor no realiza ningún razonamiento fuera del sistema para deducir la indecidibilidad. Se sigue de la demostración hecha manipulando el sistema según sus propias reglas.

Es como si te demuestro el teorema de Pitágoras manipulando los elementos de la geometría euclídea según sus reglas y luego me preguntas por la causa de que el teorema sea cierto. O bien te repito la demostración o bien empezamos a especular de por qué las cosas son como son. Lo primero es lo que vale para la demostración. Lo segundo será interesante como tema de discusión, pero no podrás agarrarte a lo que ahí digamos para concluir que eso que ahí decimos es la razón o causa y que está fuera del sistema y, por tanto, sin ello el teorema no sería cierto.

Llevo argumentándote en los últimos comentarios que tal sistema que detecta paradojas no puede existir, y que esto es una consecuencia del propio teorema de Gödel.

En fin, no sé qué más decirte. He consultado con un par de colegas matemáticos y he repasado textos interpretativos del teorema de Gödel. Todos comparten lo que te vengo diciendo. No es que quiera apelar al argumento de autoridad, pero me pregunto si tu argumento lo has visto publicado en alguna parte. Si no es así, sería una publicación de primer orden (si fuera cierto).

Te recomiendo, si no lo has leído, el libro de Douglas Hofstadter, "Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid", donde se trata extensamente todo lo que tiene que ver con el teorema de Gödel.

Iñigo dijo...

El autor no realiza ningún razonamiento fuera del sistema para deducir la indecidibilidad. Se sigue de la demostración hecha manipulando el sistema según sus propias reglas.

No digo que no lo haga, pero dicho razonamiento se basa en determinar que forall es un enunciado que conduce a contradiccion dentro de PM.

Entiendo que el articulo asi como el debate que aqui estamos teniendo no utiliza el lenguaje que requiere una demostracion matematica. Esto no quiere decir que lo que se diga no este fundamentado ni que no haya presentado una cadena de causalidad logica:
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Si existe un sistema formal que decida todo enunciado de gödel existe un sistema donde el enunciado de Gödel es deducible. Dado que el Teorema de Gödel se deduce solo si su enunciado es indecible, en un sistema que decida todo enunciado de Gödel no puede deducirse el Teorema de Gödel.

Si todo enunciado de Gödel es una oracion tipo X (paradoja), el sistema que decida los enunciados de Gödel debera decir al menos alguna oracion tipo X (paradoja)

Los humanos decidimos oraciones tipo X a partir de principios y reglas deductivas, deducimos oraciones tipo X a partir de un sistema formal.

Por tanto existe el sistema formal donde el teorema de Gödel no se puede demostrar.

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Faltaria representarlo.
No creo que fuera muy dificil formalizar un sistema en el cual las paradojas sean decidibles y probar forall en ella.

He leido el libro que mencionas.

Iñigo dijo...

*El actual mensaje a sido borrado y despues reeditado para eliminar errores en la explicacion
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Se me olvidaba.

Hasta ahora he intentado argumentar por que si es posible un sistema donde el teorema de Gödel no sea probable, llegandose al punto de requerir la formalizacion de dicho sistema para proseguir.

Más el articulo contiene otra afirmacion, justamente al final:

En todo caso no se ha demostrado que tal sistema formal no sea posible ni que de existir sus alguna de sus oraciones fuera indecidible.

Una demostracion solo vale para el sistema formal que se ha considerado, no esta demostrado que el sistema que planteo no exista y que no sea completo. No existe una demostracion matematica acerca de ello. Asumir que el Teorema de Gödel es extensible a cualquier sistema no es formalmente riguroso, habla unicamente del sistema formal en el que se evalua.

Es decir yo he argumentado pero no he demostrado rigurosamente que el sistema Z (donde no peude probarse el teorema de Gödel) existe, por tanto no puedo aseverar con rigor matematico que el teorema de Gödel no es extensible a todo sistema. Por otro lado dado que no esta demostrado rigurosamente que el Teorema de Gödel sea aplicable a tal hipotetico sistema, no se puede aseverar con rigor matematico que el Teorema de Gödel si es extensible a todo hipotetico sistema.