En un principio se puede discutir si la matemática tiene una única estructura axiomática legítima o tiene varias. Es decir, si sistemas de axiomas no homólogos pueden ser ambos matemáticos. Con sistemas de axiomas no homólogos me refiero a aquellos entre los que es posible obtener teoremas diferentes dependiendo del sistema axiomático seleccionado. Esta cuestión es una cuestión de convenio, matemática será lo que se decida de modo que podría entenderse como matemática cualquier sistema axiomático o por el contrario un sistema axiomático particular con una peculiaridad.
LA PECULIARIDAD
La peculiaridad del sistema axiomático que he denominado como particular es que sus axiomas resultan evidentes. No existe ningún axioma preestablecido por el cual un sistema axiomático deba de contener axiomas evidentes, ni que estos axiomas no sean falsos con respecto a otro sistema axiomático. Es decir podríamos coger ZFC negar uno de sus evidentes axiomas y tendríamos un nuevo sistema axiomático, que quizás no tuviera mucho recorrido pero sistema axiomático consistente al fin y al cabo. No obstante este cambio no gustara, por razones "evidentes", mucha gente mostraría su descontento acerca de como la matemática es capaz de albergar semejante fechoría. Es decir, se espera que en matemática los axiomas sean evidentes, una evidencia por otra parte solo podemos asegurar que coincide con la experiencia y que nada podemos asegurar de su "universalidad". Sino se espera esto de la matemática no hay de que preocuparse, defino matemática en este contexto aquella en la que sus axiomas son evidentes. He aquí que evidencia es un término difuso, por tanto valorar un determinado sistema axiomático como matemático puede depender de las distintas personas y situaciones.
¿Existe algún criterio mas fuerte que la evidencia subjetiva? Dado que la importancia y la relevancia que ha adquirido la matemática se debe a su capacidad para servir de herramienta y base para los modelos que han permitido obtener rendimientos del mundo, podríamos decir que los axiomas del sistema matemático son aquellos que permiten una modelizacion del mundo, porque esta a sido su labor desde un principio.
AXIOMA DE ELECCION
Axioma utilizado en demostraciones matemáticas que asevera que es posible formar un conjunto utilizando cualesquiera elementos de otros cualesquiera conjuntos.
No obstante parece evidente que para aquellos elementos que pueden pertenecer a un conjunto pueden presentarse 4 situaciones, cada uno de los cuales tiene múltiples ejemplos:
A: En la que los elementos pueden pertenecer a un conjunto solo si en ese conjunto no se encuentran otros elementos dados.
Supongamos que un conjunto de protones y otro conjunto de antiprotones y nos proponemos crear un conjunto que contenga un protón y un antiprotón. El conjunto de tomar un elemento de cada contiene fotones.
B: En la que los elementos pueden pertenecer a un conjunto solo si en ese conjunto se encuentran otros elementos dados:
Supongamos una vela que tiene una llama, extraemos la llama a otro conjunto, la llama se extingue.
AB: Cuando se verifica A y B:
AB: Cuando se verifica A y B:
Supongamos una vela de materia y otra de antimateria, es necesario extraer la llama con la vela pero sin añadir la de antimateria
C: En la que los elementos pueden pertenecer a un conjunto independientemente de si se encuentran o no otros elementos.
El axioma de elección imposibilitaría definir elementos tales que provocaran los escenarios A, B y AB lo cual es lo suficientemente preocupante como para no incorporar el axioma, dado que aceptar A, B y AB resulta natural. Por otra parte dicho axioma establecería unas condiciones que no se corresponden con las que deberían de esperarse de una base modelizadora para el mundo que incorpora la exclusión mutua o inclusión necesaria.
Véase la Paradoja de Banach-Tarski
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