sábado, 29 de noviembre de 2014

LA PARADOJA EN LA PREDOMINANCIA DEL 1 EN LA PRIMERA CIFRA DE LAS MAGNITUDES

 

Planteamiento del problema

Supóngase que cuando se hace una medida se obtiene un resultado en números decimales. Se da un hecho muy curioso que puede enunciarse del siguiente modo, en el conjunto de todas las mediciones realizadas hay muchas más mediciones cuya primera cifra es 1 que mediciones cuya primera cifra es 9.

A priori tanto el 9 cómo el 1 tienen la misma probabilidad de ser el primer número de una medida determinada, por tanto debería de haber tantos 1’s cómo 9´s.

Solución

Si tenemos una unidad de medida básica (el metro), y una familia de entidades que podemos medir (montañas),  siempre va ha existir un elemento en esa familia que dé la máxima medida (el Everest). La probabilidad de que aparezca un digito determinado en la primera cifra de la máxima medida es igual para cada uno de los dígitos; 1/9 para cada posibilidad. Cuando la 1º cifra de la medida máxima de una familia es N, se dirá que la familia es de tipo N. Si consideramos varias familias del mismo tipo, la media de las 2 primeras cifras para el máximo de una familia de tipo N es de N5.

Una vez se tiene el máximo de la familia, las mediciones se repartirán con la misma probabilidad entre dicho máximo y el 0. De esta forma se puede saber la probabilidad de que una medida en una de las familias comience con una cifra determinada. Se puede hacer una tabla combinando las diferentes familias para cuando la mantisa es 2 (dos cifras significativas), para conocer la probabilidad de aparición de cada símbolo como primera cifra:

    FAMILIA TIPO    
COMIENZA POR   1 2 3 4 5 6 7 8 9 SUMA % 
1 7 11 11 11 11 11 11 11 11 95 19,67%
2 1 7 11 11 11 11 11 11 11 85 17,60%
3 1 1 1 11 11 11 11 11 11 69 14,29%
4 1 1 1 1 11 11 11 11 11 59 12,22%
5 1 1 1 1 7 11 11 11 11 55 11,39%
6 1 1 1 1 1 7 11 11 11 45 9,32%
7 1 1 1 1 1 1 7 11 11 35 7,25%
8 1 1 1 1 1 1 1 7 11 25 5,18%
9 1 1 1 1 1 1 1 1 7 15 3,11%

De este modo se explica la abundancia del 1 como primera cifra.

2 comentarios:

Anónimo dijo...

Bien explicado, gracias

Iñigo Azcorra Elespe dijo...

Gracias por participar. Estas cosas estan sucediendo delante de nuestras propias narices y lo suyo es que no salgan indemnes. Saludos